2024-2025学年高中数学第三章推理与证明1.2类比推理课后巩固提升含解析北师大版选修1-2

PAGE1.2类比推理[A组基础巩固]1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面相互平行，类比平面图形，则相对的两条边相互平行，故选C.答案：C2．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对随意实数x成立，则()A．－1<a<1 B．0<a<2C．－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)<a<eq\f(1,2)解析：由题意得，(x－a)(1－x－a)<1，即x2－x－(a2－a－1)>0对于随意x恒成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：由类比推理可知，方程应为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是重心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．答案：D5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S­ABC的体积为V，则r等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S­ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C6．类比平面直角坐标系中△ABC的重点G(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))的坐标公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)＝\f(x1＋x2＋x3,3),\x\to(y)＝\f(y1＋y2＋y3,3)))(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1、y1、z1)、B(x2、y2、z2)、C(x3、y3、z3)、D(x4、y4、z4)为顶点的四面体A­BCD的重点G(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\x\to(z))的公式为________．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)＝\f(x1＋x2＋x3＋x4,4),\x\to(y)＝\f(y1＋y2＋y3＋y4,4),\x\to(z)＝\f(z1＋z2＋z3＋z4,4)))7．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶88．有如下真命题：“若数列{an}是一个公差为d的等差数列，则数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是(填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比为q3的等比数列”9．在△ABC中，余弦定理可叙述为a2＝b2＋c2－2bccosA，其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．解析：如图，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α、β、γ依次表示平面PAB与平面PBC，平面PBC与平面PCA，平面PCA与平面ABP之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ.10.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P­ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[B组实力提升]1．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)解析：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A­BCD的内切球的球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍旧正确的是()A．假如一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B．假如一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C．假如两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D．假如两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.答案：B3．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以类比得bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).答案：eq\r(n－m,\f(dn,cm))4．已知x∈R且f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，得f(x)的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a为正的常数，x∈R且f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为________；(2)已知a为正的常数，x∈R且f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，则f(x)的一个周期为________．解析：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的一个周期为2a.(2)∵f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，∴f(x＋2a)＝eq\f(fx＋a－1,fx＋a＋1)＝eq\f(\f(fx－1,fx＋1)－1,\f(fx－1,fx＋1)＋1)＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4a)＝－eq\f(1,fx＋2a)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期为4a.答案：(1)2a(2)4a5.如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列的第几项？解析：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵有99行100列．6.如图，点P为斜三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在随意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析：(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面