江苏省苏北县2025届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析_第1页
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文档简介

江苏省苏北县2025届高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一,数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题.如图,在圆D中,为其一条弦,,C,O是弦的两个三等分点,以A为左焦点,B,C为顶点作双曲线T.设双曲线T与弧的交点为E,则.若T的方程为,则圆D的半径为()A. B.1C.2 D.2.在下列函数中,求导错误的是()A., B.,C., D.,3.如图,在直三棱柱中,,,E是的中点,则直线BC与平面所成角的正弦值为()A. B.C. D.4.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点在抛物线上,则抛物线的方程为()A. B.C. D.5.已知点为直线上任意一点,为坐标原点.则以为直径的圆除过定点外还过定点()A. B.C. D.6.已知数列为等比数列,则“为常数列”是“成等差数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.数列的通项公式是()A. B.C. D.8.过抛物线的焦点作互相垂直的弦,则的最小值为()A.16 B.18C.32 D.649.若关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集是()A. B.,或C.,或 D.,或,或10.如图,,是平面上两点,且,图中的一系列圆是圆心分别为,的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,A,B,C,D,E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以,为焦点的椭圆M上,则()A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上11.已知函数,若函数有3个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.金刚石的成分为纯碳,是自然界中存在的最坚硬物质,它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它外接球的体积为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率为__________.14.在数列中,满足,则________15.已知抛物线的焦点坐标为,则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________.16.已知,在直线上存在点P,使,则m的最大值是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知:方程表示焦点在轴上的椭圆,:方程表示焦点在轴上的双曲线,其中.(1)若“”为真命题,求的取值范围:(2)若“”为假命题,“”为真命题,求的取值范围.18.(12分)已知椭圆一个顶点恰好是抛物线的焦点,椭圆C的离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P,若椭圆C上有两个点A,B使得的平分线垂直于坐标轴,且点B与点A的横坐标之差为,求直线AP的方程.19.(12分)已知圆(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为,求该直线的方程;(2)设直线与圆C交于A,B两点,把的面积S表示为m的函数,并求S的最大值20.(12分)在平面直角坐标系中,已知双曲线C的焦点为、,实轴长为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点的直线l与曲线C交于M,N两点,且Q恰好为线段的中点,求直线l的方程.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,是等边三角形.(1)证明:平面平面.(2)求点到平面的距离.22.(10分)为庆祝中国共产党成立100周年,某校举行了党史知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题(1)甲至少抽到1道填空题(2)甲答对的题数比乙多的概率.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题设写出双曲线的方程,对比系数,求出即可获解【详解】由题知所以双曲线的方程为又由题设的方程为,所以,即设AB的中点为,则由.所以,即圆的半径为2故选:C2、B【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.详解】;;;.故求导错误的是B.故选:B.3、D【解析】以,,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出答案.【详解】解:由题意知,CA,CB,CC1两两垂直,以,,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为,则令,得.因为,所以,故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选:D.4、B【解析】首先根据题意设出抛物线的方程,利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程,代入求得参数的值,最后得到答案.【详解】解:根据题意设出抛物线的方程,因为点在抛物线上,所以有,解得,所以抛物线的方程是:,故选:B.5、D【解析】设垂直于直线,可知圆恒过垂足;两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线,垂足为,则直线方程为:,由圆的性质可知:以为直径的圆恒过点,由得:,以为直径的圆恒过定点.故选:D.6、C【解析】先考虑充分性,再考虑必要性即得解.【详解】解:如果为常数列,则成等差数列,所以“为常数列”是“成等差数列”的充分条件;等差数列,所以,所以数列为,所以数列是常数列,所以“为常数列”是“成等差数列”的必要条件.所以“为常数列”是“成等差数列”的充要条件.故选:C7、C【解析】根据数列前几项,归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意,数列的前几项为:;;;……则其通项公式.故选C.【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查数列通项公式的猜想,属于基础题.8、B【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标,分别设出,所在直线方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式求得,,然后利用基本不等式求最值.【详解】抛物线的焦点,设直线的直线方程为,则直线的方程为.,,,.由,得,,同理可得..当且仅当,即时取等号.所以的最小值为.故选:B9、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数,再代入所求不等式,利用分式大于零,则分子分母同号,列不等式计算即得结果.【详解】不等式解集为,即的二根是1和2,利用根和系数的关系可知,故不等式即转化成,即,等价于或者,解得或,或者.故解集为,或,或.故选:D.【点睛】分式不等式的解法:(1)先化简成右边为零的形式(或),等价于一元二次不等式(或)再求解即可;(2)先化简成右边为零的形式(或),再利用分子分母同号(或者异号),列不等式组求解即可.10、C【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.【详解】因为,所以椭圆M中,因为,,,,所以D,E在椭圆M上.故选:C11、B【解析】构造,通过求导,研究函数的单调性及极值,最值,画出函数图象,数形结合求出实数的取值范围.【详解】令,即,令,当时,,,令得:或,结合,所以,令得:,结合得:,所以在处取得极大值,也是最大值,,当时,,且,当时,,则恒成立,单调递增,且当时,,当时,,画出的图象,如下图:要想有3个零点,则故选:B12、A【解析】求得外接球的半径,进而计算出外接球体积.【详解】设,正八面体的棱长为,根据正八面体的性质可知:,所以是外接球的球心,且半径,所以外接球的体积为.故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】直线与椭圆相交,求交点,利用列式求解即可.【详解】联立方程得,因为,所以,即,所以,.故答案为:.14、15【解析】根据递推公式,依次代入即可求解.【详解】数列满足,当时,可得,当时,可得,当时,可得,故答案为:15.15、【解析】根据题意,求得,得到焦点坐标,结合抛物线的定义,得到,根据,求得,即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为,可得,解得,设抛物线上的任意一点为,焦点为,由抛物线的定义可得,因为,所以,所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是.故答案为:.16、11【解析】设P点坐标,根据条件知,由向量的坐标运算可得P点位于圆上,再根据P存在于直线上,可知直线和圆有交点,因此列出相应的不等式,求得m范围,可得m的最大值.【详解】设P(x,y),则,由题意可知,所以,即,即满足条件的点P在圆上,又根据题意P点存在于直线上,则直线与圆有交点,故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径,即,解得,则m的最大值为11,故答案为:11.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2)【解析】(1)先假设命题为真命题,求出的取值范围,为真命题,取补集即可(2)假设命题为真命题,求出的取值范围,根据题意,则命题假设和命题一真一假,分类讨论求的取值范围【小问1详解】解:若为真命题,则,解得,若“”为真命题,则为假命题,或;【小问2详解】若为真命题,则解得,若“”为假命题,则“”为真命题,则与一真一假,①若真假,则解得,②若真假,则解得,综上所述,,即的取值范围为.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由题意可得关于参数的方程,解之即可得到结果;(Ⅱ)设直线AP的斜率为k,联立方程结合韦达定理可得A点坐标,同理可得B点坐标,结合横坐标之差为,可得直线方程.【详解】(Ⅰ)由抛物线方程可得焦点为,则椭圆C的一个顶点为,即.由,解得.∴椭圆C的标准方程是;(Ⅱ)由题可知点,设直线AP的斜率为k,由题意知,直线BP的斜率为,设,,直线AP的方程为,即.联立方程组消去y得.∵P,A为直线AP与椭圆C的交点,∴,即.把换成,得.∴,解得,当时,直线BP的方程为,经验证与椭圆C相切,不符合题意;当时,直线BP的方程为,符合题意.∴直线AP得方程为.【点睛】关键点点睛:两条直线关于直线对称,两直线的倾斜角互补,斜率互为相反数.19、(1)(2),最大值为.【解析】(1)利用垂径定理求出斜率,即可求出直线的方程;(2)利用几何法表示出弦长与d的关系,利用基本不等式求出的面积S的最大值【小问1详解】圆化为标准方程为:.则.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知:,所以,所以所求的直线为:,即.【小问2详解】设圆心C到直线l的距离为d,则,且,所以因为直线与圆C交于A,B两点,所以,解得:且.而的面积:因为所以(其中时等号成立).所以S的最大值为.20、(1)(2).【解析】(1)根据条件,结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.(2)当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设出直线方程,联立双曲线,变形后由中点坐标公式可求得斜率,即可求得直线方程.【详解】(1)根据题意,焦点在轴上,且,所以,双曲线的标准方程为C:.(2)过点的直线l与曲线C交于M,N两点,且Q恰好为线段的中点,当直线斜率不存在时,直线方程为,则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上,所以不满足题意;当斜率存在时,设直线方程为,设,则,化简可得,因为有两个交点,所以化简可得恒成立,所以,因为恰好为线段的中点,则,化简可得,所以直线方程为,即.【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程,直线与双曲线的位置关系,由中点坐标求直线方程,属于中档题.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据等边三角形的性质、线面垂直的性质,结合面面垂直的判定定理进行证明即可;(2)利用余弦定理,结合三棱锥的等积性进行求解即可.【小问1详解】证明:设,因为是等边三角形,且,所以是的中点,则.又,所以,所以,即.又平面平面,所以.又,所以平面.因为平面,所以平面平面.【小问2详解】解:因为,所以.在中,,所以,则又平面,所以.如图,连接,则,所以.设点到平面的距离为,因为,所以,解得,即点到平面的距离为.22、(1);(2).【解析】(1)把3道选择题(2)设,分别表示甲答对1道题,2道题的事件,,分别表示乙答对0道

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