2025届山西省山大附中等晋豫名校高三数学第一学期期末达标测试试题含解析

2025届山西省山大附中等晋豫名校高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg2．已知集合，则集合（）A． B． C． D．3．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A． B． C． D．5．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．21 B．22 C．11 D．126．若复数满足，则()A． B． C． D．7．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．若，则下列关系式正确的个数是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.14．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________．15．若x，y满足，则的最小值为________.16．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.18．（12分）设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：，恒成立.19．（12分）已知函数.（1）若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：.20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．21．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．22．（10分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．2、D【解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.【详解】因，所以，故，又，，则，故集合.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.3、D【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.4、A【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5、A【解析】

由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.【详解】解：由为等差数列，可知也成等差数列，所以，即，解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.6、C【解析】

化简得到，，再计算复数模得到答案.【详解】，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.7、A【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.【详解】由题意得：定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；，，不是最值，③错误；令，当时，，，，此时与无交点；当时，，，，此时与无交点；综上所述：与无交点，④正确.故选：.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.8、D【解析】

根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．9、A【解析】

先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数，所以函数是偶函数.，即，又，所以，.函数的定义域为，所以，则函数在上为单调递增函数.又在上，，所以为偶函数，且在上单调递增.由，可得，对恒成立，则，对恒成立，，得，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.10、C【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.11、C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12、D【解析】

a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令，，作出图象如图，由，的图象可知，，，②正确；，，有，①正确；，，有，③正确；，，有，④正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14、231,321,301,1【解析】

分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解【详解】0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；（2）当个位数字是3时数字可以是1．故答案为：231,321,301，1【点睛】本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.15、5【解析】

先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.故答案为：4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。16、【解析】

设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标.【详解】设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析(2)【解析】

（1）假设函数的图象与x轴相切于，根据相切可得方程组，看方程是否有解即可；（2）求出的导数，设()，根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）∵，∴，即当时，不等式化为，∴当时，不等式化为，此时无解当时，不等式化为，∴综上，原不等式的解集为（2）要证，恒成立即证，恒成立∵的最小值为－2，∴只需证，即证又∴成立，∴原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.19、（1）（2）详见解析【解析】

（1），在上，因为是减函数，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，则，因为，所以.所以在上是增函数，所以，所以，解得.所以实数的最大值为.（2），.令，则，根据题意知，所以在上是增函数.又因为，当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，所以存在，使，即，，所以对任意，，即，所以在上是减函数；对任意，，即，所以在上是增函数，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在有3个零点．【解析】

（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；（Ⅱ）二次求导，判断单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；（Ⅲ），数形结合得出结论．【详解】解：（Ⅰ），，，故在点，处的切线方程为，即；（Ⅱ）证明：，，，故在递减，又，，由零点存在性定理，存在唯一一个零点，，当时，递增；当时，递减，故在只有唯一的一个极大值；（Ⅲ）函数在有3个零点．【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题．21、（1）（2）【解析】

（1）项和转换可得，继而得到，可得解；（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解【详解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵数列为递增数列，∴，即．令，即