2025届江苏省盐城市盐都区高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届江苏省盐城市盐都区高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（）A.2 B.3C.-2 D.-32．经过点的直线的倾斜角为，则A. B.C. D.3．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（）A. B.C. D.4．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面5．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（）A. B.C. D.6．由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，另一组数据2、的中位数可以表示为（）A. B.C. D.7．等比数列满足，，则（）A.11 B.C.9 D.8．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（）A0 B.1C.3 D.49．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.10．函数在处有极值为，则的值为（）A. B.C. D.11．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（）A. B.2C. D.12．函数在的图象大致为（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为__________14．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________15．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.16．已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.18．（12分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值19．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和20．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱中点（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值21．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，（1）求证：平面；（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值22．（10分）已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线方程；（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.【详解】因为，，且q为整数，所以，，即q=2.所以.故选：A2、A【解析】由题意，得，解得；故选A考点：直线的倾斜角与斜率3、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D4、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D5、A【解析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：，解得：，，所以根据余弦定理，故选：A6、C【解析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可【详解】因为由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，所以另一组数据2、从小到大的排列为，所以这一组数的中位数为，故选：C7、B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【详解】由数列是等比数列，得：，故选：B8、A【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，所以数列的前2022项和故选：A9、C【解析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选：C10、B【解析】根据函数在处有极值为，由，求解.【详解】因为函数，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故选：B11、C【解析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答.【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设，因，则，化简整理得：，因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大，显然，点P到轴的最大距离为，此时，，所以面积的最大值是故选：C12、D【解析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用等差数列的定义即得.【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，∴.故答案为：.14、【解析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标【详解】设，由题意知，所以，则，由题意可得，把代入，得，所以P点坐标为故答案为：15、18【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故答案为：1816、107【解析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.【详解】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.【点睛】本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在直接求出、的坐标，即可求出，当直线的斜率存在，设直线为、、，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，即可表示出的坐标，再求出的坐标，即可表示出、，即可得解；【小问1详解】解：设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，即，由，解得，即圆心坐标为，所以半径，所以圆的方程为【小问2详解】解：当直线的斜率存在时，设过点的直线为，所以，消去得，设、，则，，所以，所以的中点，由解得，即，所以，，所以；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，综上可得.18、（1）（2）128【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.【小问1详解】设抛物线上任一点为，则，所以当时，，又∵，∴，即所以抛物线C的方程为【小问2详解】设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，由题意可知，的斜率k存在且不为0设的方程为由，得，同理可得，，当且仅当时，即时，等号成立∴四边形AMBN面积的最小值为12819、（1）；（2）【解析】（1）由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；（2）利用分组求和法，根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.【详解】（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，，所以【点睛】关于数列前项和的求和方法：分组求和法：两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算；裂项相加法：数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和；错位相减法：等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中，平面，则平面，由平面，则，，则，又为的中点，则，又，则平面，由平面，因此，.【小问2详解】以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：，，，，，，.∴，，，，设为面的法向量，则，令得，设与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.21、（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，则、、、、、、、，，设平面的法向量为，，，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直