河南省南阳市桐柏县思源教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

桐柏县思源教育集团2024年秋期第二次学情调研九年级数学注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．一、选择题（每小题3分，共30分）1.在二次根式①，②，③，④中，是同类二次根式的是（）A.①和③ B.②和③ C.①和④ D.③和④【答案】C【解析】【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可．①；②；③；④中，是同类二次根式的是①④．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解．解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，正确的计算是解题的关键．3.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于，当,

方程有两个不相等的实根，当,

方程有两个相等的实根，,

方程没有实根，根据原理作答即可．解：∵，∴，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4.下列各组线段中，能成比例是（）A.1cm，3cm，4cm，6cm B.30cm，12cm，0.8cm，0.2cmC.0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D.12cm，16cm，45cm，60cm【答案】D【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案A、1×6≠3×4，故错误；B、30×0.2≠12×0.8，故错误；C、01×0.4≠0.2×0.3，故错误；D、12×60=16×45，故正确．故选D．点睛】比例线段5.方程有两个实数根，则的取值范围（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，，，然后解不等式组即可．解：根据题意得，，，解得m≤且m≠2．故选：B．6.用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方形的面积为75，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题．解：根据题意得，小正方形的边长为：这个小正方形的周长为，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7.如图，，若，，则DE等于（）A.3 B.3.2 C.3.6 D.4【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到DE、EF的关系，根据，即可得到答案．，且故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．8.如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为1．解：∵点，分别是线段，的中点，∴，，∴，∴最大时，最大，∵与重合时最大，此时，∴的最大值为1，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．9.已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；D、由两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意；故选：B．10.菱形周长为20，对角线交于点O，，点E在上，，交于点F，则的长为（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，先根据菱形的性质和勾股定理求出，则，再证明，进一步证明，利用相似三角形的性质推出，则．解：∵菱形周长为20，对角线交于点O，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选A．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若，，则a的值为____________．【答案】4【解析】【分析】设辅助未知数，根据比例性质求出辅助未知数，进而求出答案．解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18，∴k=2，∴a=2k=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．12.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，再根据二次根式的性质化简即可得．解：由数轴可知，，，则，，，所以．故答案为：13.小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________m．【答案】【解析】【分析】根据实物与影子的比相等可得小芳的影长．∵爸爸身高，小芳比爸爸矮．∴小芳身高为设小芳的影长为，∴解得，故填：．【点睛】本题考查了平行投影，解决本题的关键是理解阳光下实物的影长与影子的比相等．14.如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，若试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，根据题意可知小路的面积等于长为，宽为的矩形面积加上长为，宽为的矩形面积，再根据试验田面积为，建立方程即可．解；设宽为，由题意得，，故答案为：．15.已知，是方程的两根，则_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可．解：，是方程的两根，，，，，，故答案为：．三、解答题（本大题满分75分）16.计算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算：（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式即可；（2）先利用完全平方公式计算二次根式乘法，分母有理化，再合并同类二次根式即可．【小问1】解：原式；【小问2】解：原式．17.解方程（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【小问1】解：∵∴，∴，∴或，解得；【小问2】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．【答案】（1）相似；（2）135°．【解析】试题分析：（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用两边对应成比例且一个夹角对应相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解．试题解析：解：（1）△PBA与△ABC相似．理由如下：∵AB=，BC=5，BP=1，∴．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°．点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键．19.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．（1）证明：依题意可得故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：由，得，解得．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．20.如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．解：∵四边形为正方形，∴，∴，，∴．设正方形零件的边长为，则，．∵，∴，∴，解得．∴这个正方形零件的边长是．21.今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】（1）（2）应降价5元【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可；（2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．【小问1】解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，由题意，得：，解得：或（舍去）；答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；【小问2】设降价元，由题意，得：，解得：或（舍去）；答：应降价5元．22.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？【答案】【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解：∵AO＝6厘米，BO＝8厘米，∴AB＝＝＝10（厘米），∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t厘米，AP＝（10﹣t）厘米，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝，综上所述，t＝时，△APQ与△AOB相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．23.（1）如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：（2）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：（3）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点分别在边上，若，求的长【答案】（1）见；（2）见；（3）【解析】【分析】（1）由题意易得∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPD，进而问题得证；（2）由题意易得∠BAP=∠CPD，进而问题得证；（3）由题意