数学自主训练：三角函数的图象和性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.函数y=的定义域是()A.［0，1］B.x∈RC.[kπ,kπ+］（k∈Z)D.[2kπ,2kπ+]（k∈Z）思路解析:要使函数有意义，则sin(cosx）≥0.∴0≤cosx≤1.∴x∈［2kπ,2kπ+］（k∈Z).故选D。答案：D2.已知f(x)是定义在（-3,3）上的奇函数，当0<x<3时，f（x）的图象如图1—3—10所示，那么不等式f（x)cosx〈0的解集为(）图1—3—10A.(-3，)∪（0,1)∪(，3)B。(，—1）∪（0,1）∪(,3)C.（—3，）∪（0，1)∪(1，3)D.（—3,—1)∪(0,1）∪(1，3)思路解析:利用奇函数性质，将图象补充完整,同时在同一坐标系内画出余弦函数图象,如图1-3-11所示，由于f(x)cosx<0,则只需f（x）与cosx在同一x取值时，异号即可.图1-3—11答案：B3.图1-3—12是周期为2π的三角函数y=f(x）的图象，那么f（x）可以写成(）图1-3-12A。sin（1+x）B.sin(—1-x)C.sin（x-1）D.sin（1-x)思路解析:由图可以看出f（1)=0,f（0)〉0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin（1+x)，因为sin（1+1）≠0；也不是sin(—1-x)，因为sin（-1—1）≠0；也不是sin（x—1），因为sin（0—1）=sin（—1）=-sin1≠0.而sin(1-x）同时满足sin（1-1)=sin0=0和sin(1—0)=sin1>0.答案:D4。（2004辽宁高考卷，11）若f（x)=sin（ωx+φ）的一部分图象如图1—3-13所示,则ω和φ的取值是(）图1-3—13A。ω=1,φ=B。ω=1,φ==—C.ω=,φ=D。ω=，φ=—思路解析：=—（-)=π，∴T=4π。又T=，∴ω=。又A=1，∴y=sin(x+φ）。∴sin(—+φ)=0.∴—+φ=kπ.由图知k=0,∴φ=.答案:C5。已知函数y=tan（2x+φ)的图象过点（,0)，则φ可以是(）A.-B。C。D。思路解析：将点(,0）代入y=tan（2x+φ),得tan(+φ)=0.∴φ可以是-。答案:A6。（2005天津高考卷，文7)函数y=Asin(ωx+φ）(ω〉0，｜φ|<,x∈R）的部分图象如图1-3—14所示，则函数表达式是（）图1—3-14A。y=-4sin(x+）B.y=4sin(x-)C。y=—4sin（x-)D.y=4sin（x+）思路解析：特殊点法。把(—2,0)、(2,—4)分别代入A、B、C、D四个选项中的函数表达式检验可知。答案：A7。图1—3-15是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.图1-3—15思路解析:设函数解析式为y=Asin（ωx+φ)，则A=2，由图象可知T=2×（0。5-0。1)=,∴ω==.∴×0。1+φ=.∴φ=.∴函数的解析式为y=2sin(x+).答案：y=2sin(x+)8。甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高度分别为____________.思路解析：如图1—3-16，甲楼的高度AC=AB=60(米)，图1-3—16在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×=.∴乙楼的高度为BD=BE-DE=60-（米).答案：60米，（60-)米9.一树干被台风拦腰折断，两树干折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为______________。思路解析：如图1-3-17，BC=20tan30°=，AB==,所以树干原来的高度为AB+BC=（米）.图1-3-17答案：米10.欲使函数y=Asinωx(A〉0,ω〉0）在闭区间上至少出现50个最小值,则ω的最小值是______.思路解析：要使y=Asinωx在［0,1］上至少含个周期,即，解得ω≥.答案：我综合我发展11。已知函数f(x)=+1。(1)讨论函数的奇偶性；（2)判断函数的最小正周期，并证明你的结论（用反证法).思路分析:（1)利用函数奇偶性的定义;（2)周期函数的周期不止一个，一般存在一个最小正周期，证明T是最小正周期时，往往用反证法比较容易.解:f（x)=|sinx|+｜cosx｜+1的定义域为R.（1）∵f（-x)=f（x）,∴f(x）为偶函数。(2）∵f(x+)=｜sin(x+）｜+|cos(x+）｜+1=f(x)，∴T=.假设f（x)的最小正周期为T′，且0<T′〈，则f(x+T′）=f（x)，即|sin（x+T′)｜+｜cos（x+T′)|=｜sinx|+|cosx｜对x∈R恒成立.x=0，得｜sinT′｜+|cosT′|=1。∵sinT′+cosT′=1（sinT′+cosT′）2=11+2sinT′cosT′=1，∴sinT′cosT′=0sinT′=0或cosT′=0，与T′∈（0,)矛盾。∴f（x)的最小正周期为T=.12.已知函数f(x)=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈(0，)且x1≠x2，试比较［f（x1）+f(x2）］与f(）的大小。思路分析：数形结合法.图1—3—18解：f（x）=tanx,x∈（0,)的图象如图1—3-18所示，则f（x1)=AA1,f（x2)=BB1,f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以[f(x1)+f(x2）］=（AA1+BB1)=DC1>CC1=f（），即［f(x1)+f(x2)]>f()。13。单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t(s)的函数关系为s=6sin(2πt+）．请完成（1）-（4）题．(1）作出它的图象；（2)单摆开始摆动(t=0）时,离开平衡位置多少厘米?（3）单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米？（4）单摆来回摆动一次需要多少时间？解：（1)找出曲线上的五个特殊点，列表如下：t……2πt+…0π2π…S…060-60…用光滑的曲线连接这些点,得函数s=6sin(2πt+）的图象(如图1—3—19所示）。图1-3—19（2）当t=0时，s=6sin=3（cm），即单摆开始摆动时,离开平衡位置3cm.(3）s=6sin（2πt+)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.（4）s=6sin(2πt+）周期T==1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s。14.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位:小时）的函数，记作y=f（t）。下表是某日各时的浪高数据:t(小时）03691215182124y（米）1。51.00.51.01.51.00。50.991。5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+B。(1)你能否根据以上数据，求出函数y=Acosωt+B的最小正周期T,振幅A及函数表达式？（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请你依据(1)的结论，判断一天内上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？思路分析:此题是一个关于三角函数图象、性质的应用题,其中对图象的分析以及对题意的理解是关键.数学应用题形式多样，解法灵活,在应用题的各种题型中，有这样一类题目:信息以表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型常有以下三种方法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型或题中给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据，问题即可获解.（2)列式比较法：若问题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表中的数据先列式,然后进行比较.（3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系