数学自主训练：均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.x、y同号,当取最小值时,一定有（）A。x=y=1B。x=y=—1C.x=y或x=-y思路解析：因为x、y同号,所以与都是正数,取最值时=，再由x、y同号，知x=y。答案：D2。下列函数中，最小值为4的是(）A。f（x)=x+B.f(x）=2×C。f（x）=3x+4×3—xD.f(x）=lgx+logx10思路解析：逐个排除。其中A,D选项不能保证两项为正，排除;而B选项不能取得等号,f（x)=2×≥4,要取等号，必须，即x2+4=1，这是不可能的。答案：C3。设x,y为正数，则(x+y)(+）的最小值为（）A。6B。9C。12思路解析：x，y为正数，(x+y）(+）≥1+4++≥9，选B。答案:B4。在区间［，2］上，函数f(x）=x2+bx+c(b、c∈R）与g(x)=在同一点取得相同的最小值,那么f（x）在区间［，2］上的最大值是（)A。B.4C.8D.思路解析:g（x）==x++1≥3,当x=1时取等号，即当x=1时取最小值3,所以f（x)的对称轴是x=1.所以b=-2。再把(1，3）代入即得c=4.所以f(x）=x2—2x+4,易得在［，2］上的最大值是f(2）=4-4+4=4.答案:B5.(1)函数f（x）=x+（x＞5)的最小值为____________.（2）函数y=（0＜x＜10）的最大值为_____________。(3)已知2x+3y=12，且x、y均为正数，那么xy的最大值为____________。思路解析：(1)由于x＞5,所以x-5＞0,f(x）=x-5++5≥2（x—5）·+5=7,当x—5=,即x=6时取最值；（2)=5，当x=10-x，即x=5时取最值；(3)首先根据条件凑出定值,把xy进行变化:xy=（2x)(3y)≤=6.答案：(1)7（2)5(3)66。已知a、b、c为不全相等的正数，求证：lg+lg＞lga+lgb+lgc。思路分析:根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得＞abc,然后，再利用均值不等式及其变形进行证明,由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程。证明：要证原不等式成立,只需证lg（）＞lgabc。又∵y=lgx是增函数，∴只需证＞abc。又已知a、b、c为不全相等的正数，所以由基本不等式，知上述三个不等式不能同时取到等号，∴＞abc成立。∴原不等式成立。7.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1,求证：（—1）（-1）（-1)≥8。思路分析：首先根据条件a+b+c=1，把其中分子上的1全部换成a+b+c之后，每个括号中的项分别使用均值不等式，然后相乘即可.证明:∵，又∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，即。同理,可得.由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（-1）（—1）(—1）≥8.8。如图3-2—1所示，平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外）上求一点C，使∠ACB取得最大值。图3—2—1思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立∠ACB某一三角函数的一个解析式，根据解析式和均值不等式求最值即可.解:设点A坐标为（0，a)，点B坐标为(0，b）,0＜b＜a,点C坐标为（x，0)(x＞0），∠ACB=α，∠OCB=β,则∠OCA=α+β（0＜α＜），∴tanα=tan［（α+β）—β]=.当且仅当x=，即x=（x＞0）时等号成立.因此当x=时，tanα取得最大值，∠ACB取得最大值。我综合我发展9.已知不等式（x+y）（)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(）A.2B.4C.6思路解析:不等式(x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，则1+a+≥a++1≥9，∴≥2或≤-4(舍去）.所以正实数a的最小值为4。答案：B10.若a,b，c＞0且a（a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为（）A。B.C。D。思路解析：若a，b,c＞0且a(a+b+c)+bc=，所以a2+ab+ac+bc=,=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc）≤（4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2）.所以（）2≤（2a+b+c)2，则(2a+b+c)≥。答案：D11。设tanx=3tany(0≤y＜x＜），则u=x—y的最大值是（）A.B.C。D。思路解析：这是一个和三角函数有关的最值问题，首先要根据三角函数和与差的公式，写出x-y的一个函数关系式:tan(x—y)=≤,而0≤y＜x＜，所以0＜x-y＜。所以0＜tan(x—y)≤.所以x-y的最大值为。答案：A12.均值不等式≥（a，b都是正实数，当且仅当a=b时等号成立）可以推广到n个正实数的情况，即对于n个正实数a1，a2，a3，…，an有(当且仅当a1=a2=a3=…=an时，取等号）.同理,当a，b都是正实数时,（a+b）（+）≥=4,可以推广出这样的结论：对于n个正实数a1,a2,a3,…，an，有（a1+a2+a3)()≥;(a1+a2+a3+a4)（）≥;(a1+a2+a3+…+an）(）≥;如果对于n个同号实数a1，a2,a3，…,an（同正或者同负）,那么，根据上述结论，(a1+a2+a3+…+an)(+…+）的取值范围是_______________.思路解析：根据所给结论及类比的方法,可得(a1+a2+a3）()≥.同理,(a1+a2+a3+a4）(）≥16，(a1+a2+a3+…+an)(+…+）≥n2。当实数a1，a2，a3,…,an都是负数时，(a1+a2+a3+…+an）（+…+）≥n2.答案：916n2［n2,+∞）13。已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_____________.思路解析：设直线l为=1（a＞0,b＞0)，则有=1。得1=，即ab≥8。于是，△OAB面积为S=ab≥4。答案:414.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名,每卡每次只限一人，每天只限一次。某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，（1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱？思路分析:把实际问题抽象（转化）成数学问题(比较代数式的大小）也就是建立数学模型是解应用题的关键，而恰当地设出未知数往往是把实际问题抽象（转化)成数学问题的第一步.解：（1）设每批去x名同学，共需去批,总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40。∴y=240x+×40（0＜x≤48,x∈Z)。∴y=240（x+)≥240×2x×=3840，当且仅当x=，即x=8时取等号.故每人最少应交=80（元）.(2）设每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40。∴y=240x+×40(0＜x≤48，x∈Z）。∴y=240（x+）≥240×2x×=19202，当且仅当x=，即x=5。66时取等号。但0＜x≤48，x∈Z，当x1=5时，y1=240×（5+）=2736；当x2=6时,y2=240×（6+）≈2720.∵y1＞y2，∴当x=6时,y有最小值，即ymin≈2720.故每人最少应交≈56。67元。15.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图3—2-2),设容器高为h米