数学自主训练：等差数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。已知数列｛an}的通项公式为an=2(n+1)+3，则此数列（）A.是公差为2的等差数列B。是公差为3的等差数列C。是公差为5的等差数列D.不是等差数列思路解析：已知a1=7，an—an-1=2（n≥2）,故这是一个以2为公差的等差数列.也可根据等差数列通项公式an=dn+(a1-d)知d=2.答案:A2。在等差数列｛an}中,已知a1=2，a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()A.40B。42C。43思路解析:在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,∴d=3.∴a5=14.则a4+a5+a6=3a5=42.答案:B3.设Sn是等差数列｛an}的前n项和，若S7=35，则a4等于（)A。8B.7C思路解析:S7=7a4=35，∴a4=5。答案:D4.已知等差数列｛an}中,a2=7,a4=15，则前10项的和S10等于（)A.100B。210C思路解析:d==4，a1=3，所以S10=210。答案：B5。等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100，则它的前3m项和为()A。130B.170C思路解析:令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40，则a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.注:也可以用Sm，S2m—Sm，S3m—S2m成等差数列求解。答案：C6.在各项均不为零的等差数列｛an｝中,若an+1-an2+an—1=0（n≥2),则S2n-1-4n等于（)A.-2B。0C。1思路解析:设公差为d，则an+1=an+d,an-1=an—d,由an+1-an2+an-1=0(n≥2),得2an-an2=0,解得an=2（零解舍去），故S2n—1—4n=2×(2n—1）—4n=—2.答案：A7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4=14，S10—S7=30,则S9=___________.思路解析:设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，由题意，得4a1+=14，［10a1+]-［7a1+］=30，联立解得a1=2,d=1,所以S9=9×2+·1=54.答案：548.若两个等差数列的前n项和之比是（7n+1)∶(4n+27），则它们的第11项之比为_____________。思路解析：方法一：设数列{an｝的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn，则a11=，b11=,∴。方法二：等差数列前n项和是关于n的二次函数，则可设Sn=(7n+1)·nk，Tn=（4n+27)·nk，由an=Sn-Sn-1=k(14n—6），得a11=148k，n≥2.bn=Tn—Tn—1=k(8n+23），得b11=111k。∴.答案：我综合我发展9.设数列｛an}、｛bn}、｛cn}满足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2（n=1,2，3,…).求证:｛an｝为等差数列的充分必要条件是｛cn｝为等差数列且bn≤bn+1(n=1，2，3，…）.证明：必要性：设{an｝是公差为d1的等差数列,则bn+1—bn=(an+1-an+3）-(an—an+2)=(an+1-an)—(an+3-an+2）=d1-d1=0。∴bn≤bn+1(n=1，2,3，…）成立.又cn+1-cn=（an+1-an）+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常数)（n=1,2,3,…)，∴数列｛cn}为等差数列。充分性:设数列｛cn｝是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1(n=1，2，3，…），∵cn=an+2an+1+3an+2，①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4。②①—②,得cn—cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2.∵cn-cn+2=（cn—cn+1）+（cn+1—cn+2)=—2d2,∴bn+2bn+1+3bn+2=—2d2.③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.④④-③，得（bn+1—bn)+2（bn+2—bn+1)+3(bn+3—bn+2)=0.⑤∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0,bn+3—bn+2≥0，∴由⑤得bn+1—bn=0(n=1,2,3，…）.由此不妨设bn=d3(n=1,2，3,…),则an—an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3。⑥从而cn+1=4an+1+2an+2—3d3,⑦⑦—⑥,得cn+1—cn=2(an+1—an)—2d3.因此an+1—an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1，2,3，…）。∴数列{an}为等差数列.10。某地区1997年年底沙漠面积为9×105hm2。地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有面积增加数/hm219982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行预测。(1）如果不采取任何措施,到2010年年底,这个地区的沙漠面积将大约变成多少？（2)如果从2003年年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000hm2沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm2？思路分析:从增加数看，数字稳定在2000附近，所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数,当然也可用其他年份的增加数为首项。列出经过n年后的沙漠面积，再根据已知列出不等式.解：(1)从表中的数据看，该地区每年沙漠面积比原有面积的增加数是一个等差数列,公差约为d=2000，a2010=a2002+8d=10001+2000×8≈0.26×105hm2，再加上原有的沙化面