数学自主训练：从力做的功到向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1．给出下列等式：①a·0=0；②0·a=0;③0-=;④｜a·b｜=｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2。以上成立的是（）A。①②③⑥⑦B。③④⑦C.②③④⑤D.③⑦思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可。对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错；对于②：应有a·0=0，故②错;对于③：很明显正确；对于④：由数量积定义，有|a·b｜=｜a｜|b|｜cosθ｜≤｜a｜｜b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a｜|b｜，故④错；对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0，故⑤错;对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错;对于⑦：a2-b2=｜a|2-|b｜2=1—1=0，故⑦正确.答案：D2．（北京高考卷，理3）若|a|=1,｜b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(）A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析：要求a与b的夹角,根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值。设a与b的夹角为θ。∵c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.∴|a｜2+b·a=0。∴b·a=—1。∴cosθ=。又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.答案：C3．已知△ABC中，=a，=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是(）A。钝角三角形，直角三角形B.锐角三角形，直角三角形C。锐角三角形，钝角三角形D。锐角三角形，斜三角形思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角;当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形。答案:A4．(辽宁高考卷，理12）设O（0，0），A（1，0），B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,=λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是（）A.≤λ≤1B。1≤λ≤1C.≤λ≤1+D.1≤λ≤1+思路解析：由题意得=λ=(1-λ）+λ=（1—λ，λ)，=—=（1-λ)=(λ-1，1-λ），=λ=（—λ，λ），又∵·≥·，∴(1-λ,λ)·(-1,1）≥（λ，—λ)·（λ—1,1—λ).∴2λ2—4λ+1≤0。∴1≤λ≤1+.因点P是线段上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1≤λ≤1.答案:B5．（湖南高考卷，理，5)已知｜a｜=2|b｜≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（）A.［0，］B.［，π]C.［，］D。［，π］思路解析：∵|a|=2|b｜≠0，且关于x的方程x2+|a｜x+a·b=0有实根，∴｜a｜2—4a·b≥0.∴a·b≤|a｜2=｜b|2。∴cos〈a,b>==，∴θ∈［，π］。答案：B6。已知e为单位向量，|a｜=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为______________.思路解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题。投影为=|a|·cos=－2.答案：－27.已知|a｜=10，｜b｜=12，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b;（2）（3a）·(b）；(3）（3b－2a）·（4a+思路分析:第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算。解:（1)a·b=｜a|｜b|cosθ=10×12×cos120°=-60。（2)（3a）·（b）=（a·b）=×（-60)=-36.（3）（3b－2a）·（4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3｜b｜2-8|a|2=10×（—60）+3×12我综合我发展8。已知向量=a，=b，∠AOB=60°，且|a|=｜b|=4.(1）求｜a+b｜,|a—b|；（2)求a+b与a的夹角;a—b与a的夹角。思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解;也可利用已知条件画出图形，数形结合.解法一:（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=｜a｜2+2｜a｜｜b|cos60°+｜b｜2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16∴｜a+b｜=43.｜a—b|2=（a-b)2=a2-2a·b+b2=|a｜2-2｜a|｜b｜cos60°+|b|=42-2×4×4cos60°+42=16—16+16=16,∴|a—b｜=4.(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.则cosα=,∴α=30°。cosβ=∴β=60°。解法二:如图2-5—8所示，以、为邻边作平行四边形OACB.图2-5—8∵｜a｜=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.(1)a+b=+=，a-b==，又∠AOB=60°，∴|a+b｜=|｜=2｜｜=2××4=。a—b=|｜=4.(2）在△OAC中，∠OAC=120°，∴∠COA=∠OCA=30°。a+b与a的夹角即∠COA=30°，a-b与a的夹角即与所成的角为60°。9.向量e1、e2满足｜e1|=2，|e2|=1,e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.思路分析:向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得。解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+(2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7。∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,∴2t2+15t+7＜0.∴－7＜t＜－.设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ,∴2t2=7。∴t=，λ=。∴当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.∴实数t的取值范围是（-7,)∪(，—）.10.四边形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形?思路分析:四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.解:由题意，得a+b+c+d=0，∴a+b=—（c+d）。∴（a+b）2=（c+d）2，即｜a|2+2a·b+｜b|2=|c|2+2c·d+|d｜由于a·b=c·d，∴｜a｜2+｜b｜2=|c|2+|d｜2。①同理，有|a|2+