数学自主训练：6平面向量数量积的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.已知向量a=(-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（）A。34B.27C。—43思路解析:依数量积的坐标运算法则解答此题。a·b=-4×5+7×2=-6.答案：D2。已知向量a=（2，1)，b=（3，x)，若（2a-b)⊥bA.3B。—1C.-1或3思路解析：欲求x的值,只需建立关于x的方程，由条件（2a—b)⊥b（2a—b)·b=0,即可得出x的方程。∵（2a-b)⊥b，∴(2a—b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x答案：C3．若向量b与向量a=（1，-2)的夹角是180°,且｜b|=，则b等于（）A.（—3，6)B。(3，-6）C。(6,—3)D。（-6，3）思路解析：由题意,b与a共线，再结合｜b｜=，列出关于b的坐标的方程,即可解出。方法一:设b=λ(-1,2），且λ＞0，有(—λ）2+(2λ)2=（)2b=（—3,6）.方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C;由共线可知b=—3a答案：A4．（2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=（3,3)，2b—a=(-1,1），则cosθ=________________。思路解析：由题意，得b=a+(—1,1)=（1，2)，则a·b=9，|a｜=，|b|=，∴cosθ=。答案：5.已知a=（1，2），b=（1，1）,c=b—ka，若c⊥a，则c=_________________.思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程,求出k后可得向量c。答案：（)6。已知a=（3，—1），b=（1，2），x·a=9与x·b=—4，向量x的坐标为_______________。思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解。设x=（t,s）,由答案：(2，—3）7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=（1，2)，(1）若｜c｜=，且c∥a，求c的坐标；（2)若|b|=,且a+2b与2a—b垂直,求a与b的夹角θ。思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标,然后建立c的坐标方程，可得解法一。另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa,则｜c|=|λa|，即｜λ｜=.故可求出λ，也就能求出c,得解法二.(2)欲求a与b的夹角θ,可根据cosθ=来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和｜a｜｜b｜即可.由题意易知|a｜|b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直,故可以得到（a+2b)·（2a－b）=0。进一步可求出a·b（1)解法一：设c=（x，y)。∵|c|=，∴=,即x2+y2=20.①又c∥a，∴2x－y=0。②由①②可得或即向量c的坐标为（2，4）或(-2,-4）。解法二：∵c∥a，故可设c=λa，则|λ|==2。∴λ=±2.即向量c的坐标为（2,4）或（—2,-4）。（2)解：∵a=（1，2）,∴|a｜=。又|b|=，故｜a||b|=。又∵（a+2b）⊥（2a-b∴（a+2b）·(2a-b）=0，即2a2+3a·b—2∴2×5+3a·b—2×=0，a·b=.∴cosθ=。又θ∈［0，π］，∴θ=π,即a与b的夹角为π.我综合我发展8。已知a=（3，4)，b=（4，3）,求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a,且｜xa+yb｜=1.思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标,再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.解：由a=（3,4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）。∵（xa+yb)⊥a，∴（xa+yb）·a=0.∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0,即25x+24y=0.①又∵｜xa+yb｜=1，∴(3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.整理得25x2＋48xy+25y2=1。②由①②联立方程组，解得和9.（2006全国高考卷Ⅱ，理17）已知向量a=（sinθ,1)，b=（1，cosθ)，-＜θ＜。（1）若a⊥b,求θ;（2）求|a＋b｜的最大值.思路分析:利用定义直接求得θ。把点的坐标代入|a＋b｜，先化简再求最值。解：（1）∵a⊥b，∴sinθ＋cosθ=0.∴tanθ=-1(—＜θ＜）.∴θ=。（2）∵a=(sinθ,1），b=(1，cosθ)，∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).∴｜a+b｜==.当sin(θ+）=1时，｜a＋b｜取得最大值，即当θ=时，|a＋b｜的最大值为.10。平面上有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P，从P0（—1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2｜，另一动点Q，从点Q0（—2,-1）出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2｜。设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当⊥时,t=___________秒。思路解析：用t表示出，列出方程即可求解。∵P0(-1，2），Q0（—2,-1),∴=（—1，—3）。又∵e1+e2=(1，1）,∴｜e1+e2｜=。∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=。∴当t时刻时，点P的位置为（—1+t,2+t）,点Q的位置为（—2+3t，—1+2t）。∴=(-1+2t，—3+t）.∵⊥,∴(-1）×（—1+2t）+（—3)×(—3+t)=0.∴t=2。答案：211。（2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q（cosx，1），x∈[，]。（1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；(2)令f(x)=cosθ，求f(x）的最小值。思路分析：(1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.解：（1)由题意，得=（