云南省大理市白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

大理州民族中学高一年级20232024学年4月月考高一数学考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.2.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先化简复数，再利用虚部的定义可得答案.【详解】因为，所以的虚部为.故选：A.3.在中，角，，的对边分别为，，，且，则角B的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理边化角可得，进而可得.【详解】在中，因，由正弦定理可得，因，所以，故，即，又因，所以，故选：A4若，，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角基本关系式与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，则.故选：B.5.在中，若点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知，得.故选：A6.下列区间为函数的增区间的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用整体法求解三角函数的单调递增区间，通过分析只有B选项满足要求.【详解】令，，解得：，，当时，，当时，，当时，，故四个选项中，只有B选项满足要求，故选：B7.已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为（）A.15 B.12 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据数量积运算判断两边垂直，再由模长公式求出边长即可求解三角形的面积.【详解】因为，，所以，即，所以，故选：C8.若向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量.【详解】由，则，由在上的投影向量.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设z是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.【详解】设，但不同时为0，则，可得，对于A：若，则，故，A正确；对于B：∵，若，则，解得：或（舍），B正确；对于C：若，即，解得，故，则，可得，C不正确；对于D：，则，解得，即z为纯虚数，此时，故，D不正确.故选：AB.10.已知向量，，则下列结论正确是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为，则D.若与的夹角为，则【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；利用向量数量积运算律求出模即可判断D.【详解】向量，，对于A，由，得，因此，A正确；对于B，由，得，因此，B正确；对于C，与夹角为，，，C正确；对于D，由C知，，故D错误.故选：ABC11.在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.若，则C.的周长有最大值6D.的面积有最大值【答案】ABD【解析】【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.【详解】对于A，因为，，由正弦定理可得，又，所以有两解，A正确；对于B，由，可得，，由正弦定理可得，B正确；对于C，由余弦定理，，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确；对于D，由余弦定理，即，当且仅当时，取到等号，所以的面积，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则______.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算、模长计算可得答案.【详解】法一：由，得，所以，；法二：由，得，所以，.故答案为：1.13.设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为______.【答案】且【解析】【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.【详解】向量，，由得，，所以.由已知得，，所以，即，且不共线.则，所以.又不共线，则.所以x的取值范围为且.故答案为：且.14.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为________.【答案】【解析】【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【详解】由题可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，.已知是纯虚数.（1）求实数的值；（2）若三点共线，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；（2）根据求解即可.【小问1详解】由题意可得，由于复数是纯虚数，则，解得；【小问2详解】由（1）可得，，则点，，点所以，因三点共线，所以，所以，所以16.已知平面向量，的夹角为，且，，．（1）当时，求；（2）当时，求值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；（2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.【小问1详解】，故．【小问2详解】由条件知，故，所以．17.在中，内角的对边分别为.已知（1）求的值（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得，，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因为，所以由余弦定理得：，即，解得,所以，又因为，所以，故的面积为=.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且（1）求；（2）若，设点为的费马点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.【小问1详解】由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.【小问2详解】由（1），所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，，，由得：，整理得，则19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．（1）设函数，试求的伴随向量；（2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值；（3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先化简函数，然后结合伴随向量