2025年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

2025年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合A=xx−1>0，B=x2xA．−3,−1 B．−1,3 C．1,【解题思路】解不等式化简集合A与B，然后利用交集运算求解即可.【解答过程】因为A=xx−1>0B=x2x所以A∩B=x故选：C.2．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z满足3−iz−i=3，则复数A．12−32i B．12【解题思路】根据复数的除法运算化简复数z，由共轭复数的定义即可求解.【解答过程】解：由题意，z=3则复数z的共轭复数z=故选：A.3．（5分）（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量a与b的夹角为60°，且a=1,3，b=1，则A．7 B．5 C．4 D．2【解题思路】根据a的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．【解答过程】由a=1,3又b=1，则a故选：D.4．（5分）（2024·陕西·模拟预测）已知α∈−π2,−π4，若A．−185 B．−25 C．【解题思路】利用正切二倍角公式和和角公式得到tanα=−3，化简得到2【解答过程】tan2α=−32所以2tan因为α∈−π2所以2故3tan2α+10tanα+3=02=故选：C.5．（5分）（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（

）A．325π12 B．76π3 C．【解题思路】结合轴截面分析可知O1B=O【解答过程】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，O1,O可知：AB∥CD∥EF，且O1可得O3FO所以该容器中液体的体积为π×故选：A.6．（5分）（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【解题思路】变形得到fx=x+1+1【解答过程】因为fx所以fx−1由于gx=x+1又g−x故gx=x+1其他选项均不合要求.故选：C．7．（5分）（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)，B，C两点的横坐标分别为xA．φ=π4 C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称 D．f(x)在【解题思路】根据给定条件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，进而求得【解答过程】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，显然由A点横坐标xA=0，即ωxA+解得x1=3π2ω，x2=2π对于A，φ=3对于B，f(π对于C，f(π)=2sin(2π对于D，当x∈[0,π2]时，3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故选：B.8．（5分）（2024·新疆喀什·三模）已知a=lnsin1.02，b=1.0251A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c【解题思路】由正弦函数、对数函数性质易得a<0<c，构造fx=ln【解答过程】因为y=sinx在则0=sin0<sin又因为y=lnx在则a=lnsin1.02<ln令x=0.02，则b=x1+x，构建fx则f′可知fx在(0,+∞)上递减，则f综上所述：a<c<b.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2024·湖北·模拟预测）某次数学考试满分150分，记X,Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X~N90,400，Y~N100,300，则（A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的极差大于乙班的极差C．成绩在100,110的人数占比乙班更高D．成绩在90,100的人数占比甲班更高【解题思路】根据题干中正态分布的性质即可判断.【解答过程】对于A，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，故A正确；对于B，甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，故B错误；对于C，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，且乙班方差小，成绩分布更集中，故甲班成绩在区间90,100的人数占比低于乙班，且低于乙班成绩在区间100,110的人数占比，故C正确，D错误．故选：AC.10．（6分）（2024·广东广州·模拟预测）设函数fx=lnA．函数fx的单调递增区间为B．函数fx有极小值且极小值为C．若方程fx=m有两个不等实根，则实数mD．经过坐标原点的曲线y=fx的切线方程为【解题思路】利用导数研究函数fx【解答过程】对A：由题意可知fx的定义域为0,+f'x=1x当x∈0,e时，f′x>0所以函数fx在0,e上单调递增，在对B：当x=e时，fx取得极大值为对C：由上分析可作出fx的图象，要使方程f只需要y=m与fx有两个交点，由图可知，m∈所以实数m的取值范围为0,1对D：设曲线y=fx在x则切线斜率k=1−2lnx0x所以切线斜率k=13e故选：ACD.11．（6分）（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线E:x2+yA．曲线E围成图形面积为8+4πB．曲线E的长度为4C．曲线E上任意一点到原点的最小距离为2D．曲线E上任意两点间最大距离4【解题思路】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线E图形，由图可得答案.【解答过程】当x>0,y>0时，曲线E:(x−1)当x>0,y<0时，曲线E:(x−1)当x<0,y>0时，曲线E:(x+1)当x<0,y<0时，曲线E:(x+1)当x=0,y=0时，曲线E为原点.画出曲线E的图形，如图所示.对于A，曲线E围成的面积可分割为一个边长为22的正方形和四个半径为2故面积为22对于B，曲线E由四个半径为2的半圆组成，故周长为2×2π对于C，如图所示，因为原点在曲线E上，所以最小值为0，故C错误；对于D，如图所示，曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为42故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2024·河北沧州·二模）已知F1,F2为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，过【解题思路】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于a,c的等式，即可求出离心率.【解答过程】由MF1=3MF2=4又NF1+NF在△MF1F在△NF1F于是a24=4整理得2c2+a2=3ac所以E的离心率为e=10故答案为：105

13．（5分）（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线l:y=kx是曲线fx=ex+1和gx=ln【解题思路】先设在y=fx上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在y=gx上的切点，即可求出【解答过程】设直线l与曲线y=fx相切于点x由f′x=ex+1，得k=所以y0=ex0+1x设l与曲线y=gx相切于点x1,y1，由g因为x1,y1是所以y1=e2x1,y1故答案为：3.14．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次n∈N*，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，Y=X，X为奇数0，X【解题思路】由题知X∼B2n,13,Y=0,1,0,3,⋯⋯0,2n−1,0，EY=【解答过程】由题知X∼B2n,E=∵kC∵(2+1)(2−1)2n−1∴C故答案为：n3四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，记角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a=(1)求角C；(2)已知点D在AC边上，且AD=2DC，BC=6，BD=27，求△ABC【解题思路】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可；（2）先确定DC长度，再确定AC，即可判断三角形形状，确定面积．【解答过程】（1）∵3a=3c∴3sin∵sin∴tanC=3，∴∠C=π（2）设DC=x，cosπ3=12当x=2时，AC=6，C=π3当x=4时，AC=12，AB满足AB2+B16．（15分）（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线C:x2a(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C的右顶点为A，B(0,−b)，过坐标原点的直线l与C交于E，F两点，与直线AB交于点M，且点E，M都在第一象限，△AFM的面积是△AEM面积的5倍，求直线l的斜率．【解题思路】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得ba=12，由点到直线的距离公式求出c，再由c=a（2）设l:y=kx，Ex1,y1，F−x1,−y1，Mx2,y2，由题意可知0<k<1【解答过程】（1）双曲线C:x2a2−所以ba又焦点到渐近线的距离为1，即c12+又c=a2+b2，所以a2=4（2）由（1）可得A2,0，B则直线AB的方程为y=1设l:y=kx，Ex1,y1，F−x由△AFM的面积是△AEM面积的5倍，可得FM=5EM，即所以x2由y=12x−1y=kx，消去y，可得由x24−y2=1y=kx由x2=32x1，可得当k=526时x2所以直线l的斜率为52617．（15分）（2024·广西来宾·模拟预测）在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是CF上一点，且CFDF=MC(1)求证：CD⊥平面PBM；(2)若直线BC与平面PBM的所成角为π3，求平面EFM与平面PBM【解题思路】（1）只需分别结合已知条件证明DC⊥BM，DC⊥PM，再结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数CM=DF=λ，结合线面角公式求出参数λ，求出平面EFM与平面PBM的法向量，由向量夹角公式即可得解.【解答过程】（1）∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC．∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM．又CF∩AC=C，CF，AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，因为DC⊂平面ACFD，∴DC⊥BM．①∵CFDF=MC∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD．∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∴在平面ACFD中DC⊥PM．②∵BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM．（2）由题意得DM∥CF，CF⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC．由（1）可知BM⊥AC，故M为坐标原点．如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．∵CFDF=∴CM=DF=λ，DM=CF=λ∴M0,0,0，Bλ,0,0，C0,λ,0∵AC=2DF，∴由棱台的性质得BC=2EF，∴ME=(由（1）可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=(0,−λ,∵直线BC与平面PBM的所成角为π3∴|cos即|−λ2|λ2⋅λλ∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=(0,−1,1)平面EFM的法向量为n=(x,y,z)∵ME=(12n⋅ME=当z=−1时，x=1，y=1．∴平面MEF的一个法向量为n=(1,1,−1)|cos∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值6318．（17分）（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数fx=ln(1)当x∈1,+∞时，函数fx(2)当a=2时，若fx1+fx2(3)求证：对任意n∈N∗，都有【解题思路】（1）分离参数，函数fx≥0恒成立，转化为a≤lnxx（2）利用导数可得当a=2时，fx在x∈0,+∞上单调递增，不妨设0<x1（3）结合（2）中的结论，利用赋值及累加法即可证明.【解答过程】（1）当x≥1时，fx即a≤lnxx令gx=lnxx令ℎx=x2−2当x≥1时，ℎ′x≥0恒成立，ℎx在所以g′x≥0在x∈1,+∞所以gx所以a≤2，即实数a的最大值为2.（2）当a=2时，fx=ln所以f′x=1x又f1=0，fx1+f要证x1+x因为fx在x∈0,+∞因为fx1+f设F=ln[x2−x令t=x2−x，则0<t<1，则φt=由0<t<1可得φ′t>0，φ所以φt<φ1所以fx1+f（3）由（2）可知当a=2时，fx在1,+∞单调递增，且由lnx+12x2令x=n+1n，则2l