第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第05讲平面向量与复数（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“a+b·a−b=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量数量积分析可知a+b⋅【解答过程】因为a+b⋅a−可知a+b⋅若a=b或a=−b，可得若a+b⋅a−b=0例如a=1,0,b=0,1，满足综上所述，“a+b⋅a−故选：B.2．（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+3【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【解答过程】对A，当a⊥b时，则所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；对C，当x=0时，a=1,0,所以a⊥对B，当a//b时，则2(x+1)=x对D，当x=−1+3时，不满足2(x+1)=x2故选：C.3．（2024·全国·高考真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2A．12 B．22 C．3【解题思路】由b−2a⊥b得b2【解答过程】因为b−2a⊥b，所以又因为a=1,所以1+4a从而b=故选：B.4．（2024·全国·高考真题）已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(bA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.【解答过程】因为b⊥b−4所以b2−4a⋅b故选：D.5．（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),A．−2 B．−1 C．0 D．1【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解答过程】向量a,b满足所以|a故选：B.6．（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=A．−1−i B．−1+i C．1−i【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.【解答过程】由题意得z=i故选：C.7．（2024·全国·高考真题）设z=2i，则z⋅zA．−2 B．2 C．−2 【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.【解答过程】依题意得，z=−2i故选：D.8．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则iz+zA．10i B．2i C．10 【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【解答过程】由z=5+i⇒z故选：A.9．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则z=（A．0 B．1 C．2 D．2【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.【解答过程】若z=−1−i，则z故选：C.10．（2024·全国·高考真题）若zz−1=1+i，则A．−1−i B．−1+i C．1−i【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【解答过程】因为zz−1=z−1+1故选：C.11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=A．1+3i C．−1+3i 【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,3)，根据复数的几何意义，由共轭复数的定义可知，z=−1−故选：D.12．（2023·全国·高考真题）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．55【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+【解答过程】因为a=(3,1),b=(2,2)则a+b=所以cosa故选：B.13．（2023·全国·高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,A．−45 B．−25 C．【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.【解答过程】因为a+b+即a2+b2+2如图,设OA=由题知,OA=OB=1,OC=2AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故选:D.14．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅A．1+22 C．1+2 D．【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD=12−22【解答过程】如图所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=则：PA⋅PD=1×====0≤α<π4∴当2α−π4=−π4

当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0则：PA⋅PD=1×====10≤α<π4∴当2α+π4=π2综上可得，PA⋅PD的最大值为故选：A.15．（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1C．λμ=1 D．λμ=−1【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，【解答过程】因为a=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1−λ故选：D．16．（2023·全国·高考真题）2+i2+2A．1 B．2 C．5 D．5【解题思路】由题意首先化简2+i【解答过程】由题意可得2+i则2+i故选：C.17．（2023·全国·高考真题）51+i3A．−1 B．1 C．1−i D．【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.【解答过程】5故选：C.18．（2023·全国·高考真题）设a∈R,a+i1−aiA．-1 B．0

C．1 D．2【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【解答过程】因为a+i所以2a=21−a2故选：C.19．（2023·全国·高考真题）设z=2+i1+i2A．1−2i B．1+2i C．2−i【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【解答过程】由题意可得z=2+则z=1+2故选：B.20．（2023·全国·高考真题）已知z=1−i2+2i，则A．−i B．i C．0 【解题思路】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．【解答过程】因为z=1−i2+2i=故选：A．21．（2023·全国·高考真题）在复平面内，1+3i3−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【解答过程】因为1+3i则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.故选：A.22．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．−6 B．−5 C．5 D．6【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【解答过程】解：c=3+t,4,cosa→,故选：C.23．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】先求得a−b，然后求得【解答过程】因为a−b=故选：D.24．（2022·全国·高考真题）已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【解答过程】解：∵|a又∵|∴9=1−4a∴a故选：C.25．（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=A．3m−2n B．−2m+3n【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【解答过程】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD−2故选：B．26．（2022·浙江·高考真题）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)iA．a=1,b=−3 B．a=−1,b=3 C．a=−1,b=−3 D．a=1,b=3【解题思路】利用复数相等的条件可求a,b.【解答过程】a+3i=−1+bi，而a,b故选：B.27．（2022·全国·高考真题）(2+2i)(1−2iA．−2+4i B．−2−4i C．6+2i【解题思路】利用复数的乘法可求2+2i【解答过程】2+2i故选：D.28．（2022·全国·高考真题）设(1+2i)a+b=2i，其中a,bA．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【解答过程】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以故选：A.29．（2022·全国·高考真题）若z=1+i．则|iz+3A．45 B．42 C．25【解题思路】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【解答过程】因为z=1+i，所以iz+3z故选：D.30．（2022·全国·高考真题）若z=−1+3i，则zzA．−1+3i B．−1−3i C．【解题思路】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【解答过程】zz故选：C.31．（2022·北京·高考真题）若复数z满足i⋅z=3−4i，则z=A．1 B．5 C．7 D．25【解题思路】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【解答过程】由题意有z=3−4ii故选：B．32．（2022·全国·高考真题）若i(1−z)=1，则z+z=A．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】利用复数的除法可求z，从而可求z+z【解答过程】由题设有1−z=1i=ii故选：D.二、填空题33．（2024·上海·高考真题）已知k∈R,a=2,5,b=6,k，且a【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【解答过程】∵a//b，∴2k=5×6故答案为：15．34．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=43；F为线段BE上的动点，G【解题思路】解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF⋅DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得【解答过程】解法一：因为CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由题意可知：BC=因为F为线段BE上的动点，设BF=k则AF=又因为G为AF中点，则DG=可得AF=1又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF⋅DG解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A−1,0可得BA=因为BE=λBA+μBC=因为点F在线段BE:y=−3x,x∈−13且G为AF中点，则Ga−1可得AF=则AF⋅且a∈−13,0，所以当a=−1故答案为：43；−35．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z+2z=mm∈R，则实数m为【解题思路】设z=1+bi,b∈R【解答过程】设z=1+bi，b∈R且b≠0则z+2∵m∈R，∴b2+3故答案为：2.36．（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数5+i⋅5【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解答过程】5+故答案为：7−537．（2023·全国·高考真题）已知向量a，b满足a−b=3，a+b【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c=【解答过程】法一：因为a+b=则a2+2a又因为a−b=则a2−2a法二：设c=a−由题意可得：c+2b2整理得：c2=b故答案为：3.38．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2−3i【解答过程】由题意可得5+14i故答案为：4+i39．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a,b表示DE为3【解题思路】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA【解答过程】方法一：DE=CE−3b2+a2=4a⋅b故答案为：32b−方法二：如图所示，建立坐标系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(−DE⊥AB⇒(x+32)(x−1)+y22=0⇒(x+1)2+y2故答案为：32b−40．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1【解题思路】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设【解答过程】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A则A1(0,1),A222,因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45故答案为：[12+2241．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b