第一章 集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合A=−1,0,1,2，B=x|x3=xA．−1 B．−1,1 C．0,1 D．−1,0,1【解题思路】化简集合B，由集合的交集定义计算即可.【解答过程】因为B=x|所以A∩B=−1,0,1故选：D.2．（5分）（2024·贵州遵义·一模）已知命题p:∀x>1，lnx>13−1A．∀x>1，lnx≤13−1C．∃x≤1，lnx≤13−1【解题思路】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将∃改为∀，再将结论否定.【解答过程】由命题p:∀x>1，lnx>¬p为∃x>1，lnx≤故选：D.3．（5分）（2024·四川成都·三模）满足M⊆a,b,c,d且M∩a,b,c=a的集合A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M中的元素，即可求解集合M的个数.【解答过程】由M∩a,b,c=a可得：a⊆M，a∈M，所以M=a或M=故选：B.4．（5分）（2024·贵州·模拟预测）设x∈R，则“x−2<1”是“1<x<2”的（

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【解题思路】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解.【解答过程】|x−2|<1的解集为{x|1<x<3}，所以“x−2<1”是“1<x<2故选：D.5．（5分）（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（

）A．1a2+1C．a2>ab>b【解题思路】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.【解答过程】由于a>b，取a=1,b=−1，1a2+1=1b2取a=0,b=−2,则a2=0,ab=0,b由于a>b，则2a>b+a>2b，所以a>a+b故选：D.6．（5分）（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<2【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k=0时，不等式kx2+当k≠0时，因为kx所以k>0Δ=k−6综上：2<k<18.故选：C.7．（5分）（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为xx≠1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax2+bx+c>0则等价于a>0−b2a=1Δ当a+b+c=0时，不能推出a=c>0,b=−2a，所以“ax2+bx+c>0的解集为x故选：A.8．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数a,b满足a+b=1，则1aB．若正实数a,b满足a+2b=1，则2C．y=x2D．若a>b>1，则ab+1<a+b【解题思路】对于A，利用1a+1b=a+b1a+1b【解答过程】对于A，若正实数a,b满足a+b=1，则1a+1b=a+b1a+1b对于B，若正实数a,b满足a+2b=1，则2a对于C，设x2+3=t∈[3,+对于D，当a=3，b=2时，有a>b>1，但ab+1=3⋅2+1=7>5=3+2=a+b，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>4【解题思路】由A∩B=A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.【解答过程】A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.故选：CD.10．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知a>b>0,c>0，则下列式子正确的是（

）A．c−b>c−a B．1ac<1bc C．【解题思路】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.【解答过程】由a>b>0,c>0，得−a<−b<0，所以c−a<c−b，A正确．因为a>b>0,c>0，所以ac>bc>0，所以ac>bc>因为a>b>0，所以a+22ab≤a+a+2b所以a+ba+2因为ab−a+c故选：ABC．11．（5分）（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A【解题思路】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】对于A，假设−1∈A，则令x=y=−1，则xy令x=−1,y=1，则x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0∴−1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2022∈A,2023∈A,∴20222023对于C，∵1∈A，x∈A，∴1∵y∈A,1对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，则x−y=−1∉A，故D错误．故选：ABC．12．（5分）（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是q,1，则【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对a分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q，然后即可判断.【解答过程】对于A，4x2−5x+1>0⇔对于B，2x若不等式ax当a=0时，21<0是不可能成立的，所以只能a<0Δ对于D，由题意得q,1是一元二次方程2x从而q×1=−322+p−3=0而当p=1,q=−32时，一元二次不等式所以p+q的值为−1故选：CD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（2023·吉林·二模）命题“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为【解题思路】分析可知命题“∀x∈R，ax2+x+1≥0”为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，在a=0时，直接验证即可；当a≠0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数a【解答过程】由题意可知，命题“∀x∈R，ax当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不合乎题意；当a≠0时，由题意可得a>0Δ=1−4a≤0，解得因此，实数a的取值范围是a≥1故答案为：a≥1414．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知集合M=−2,−1,0,1，N=x|a−3<x<1，若M∩N中有2个元素，则实数a的取值范围是1,2【解题思路】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.【解答过程】因为M=−2,−1,0,1，N=x|a−3<x<1，若所以M∩N=−1,0，所以−2≤a−3<−1，解得1≤a<2则实数a的取值范围是1,2.故答案为：1,2.15．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y【解题思路】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【解答过程】由x+2y=2因为x>1，y>0，所以x−1>0,y>0，所以1x−1当且仅当(x−1)y=2(x−1)y，即x=2所以1x−1+y的最小值是故答案为：3+2216．（5分）（2024·上海静安·二模）在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是②③④．（请填入全部正确的序号）①a+b≥2ab；②a+b22≥ab；③【解题思路】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a|−|b|≤|a−b|即证2a【解答过程】对于①，取a=−1,b=1，故①错误；对于②，a+b2对于③，当a≥b，要证|a|−|b|≤|a−b|，即证即a|2+而2a当a<b时，|a|−|b|<0,|a−b|>0，所以对于④，a2+b故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（2023·山东·模拟预测）设全集U={2,4,a2−5a}，P={a−2,2}，∁【解题思路】由补集的概念列式求解．【解答过程】解：∵全集U={2,4,a2−5a}，P={a−2,2}∴a2∴a=6．18．（12分）（2023·重庆酉阳·一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2(1)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；（2）求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.【解答过程】（1）由q真：Δ=16m2−4>0，得所以q假：−1（2）p真：Δ=4m2由p和q有且只有一个为真命题，∴p真q假，或p假q真，−3<m<0−12∴−12≤m<0或m≤−319．（12分）（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：a2（2）设a，b，c为正实数，求证：a3【解题思路】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.【解答过程】（1）因为a2a+b−3a−b4所以(a−b)24(a+b)≥0，所以a（2）由（1），得a3同理，得b3b+c所以a3a+b+当且仅当a=b=c时，取等号．20．（12分）（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合A=x−3<2x+1<7，B=xx<−4或(1)求A∩∁(2)若“p:x∈∁RA∪B”是“q:x∈C【解题思路】（1）先求出集合A，再求出∁RB，最后由交集的运算求出（2）先求出A∪B，再求出∁RA∪B，再由充分不必要条件构造关于【解答过程】（1）因为A=x−3<2x+1<7=所以A∩∁（2）A∪B=xx<−4或x>−2，所以因为“p:x∈∁RA∪B则∁RA∪B⊆C所以3a−2<−4a+1>−221．（12分）（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=43(1)求证：a2(2)求a2【解题思路】（1）将a+b=43（2）将a2【解答过程】（1）由a+b=43得48=当且仅当a=b=23所以a2（2）由已知a>0,b>0，则ab>0，则a=ab+49当且仅当ab=49aba+b=43，即a,b一个为所以a2+1b22．（12分）（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数f(x)=ax（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1（3）解关于x的不等式：f(x)<a−1,(a∈R).【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1−a)x+a≥0，按a=0(2)将给定的不等式等价转化成(x(3)将不等式化为ax【解答过程】(1)依题意，fx≥−2有实数解，即不等式当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，当a>0时，取x=0，则ax2+(1−a)x+a=a>0成立，即a当a<0时，二次函数y=ax2+(1−a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=综上，a≥−1，所以实数a的取值范围是a≥−1；(2)不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1显