重难点01 不等式恒成立、能成立问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点01不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 2【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 3【题型4基本不等式求解恒成立问题】 4【题型5一元二次不等式在实数集上有解问题】 4【题型6一元二次不等式在某区间上有解问题】 5【题型7一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 51、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈0,4”是“∀x∈R，bx2−bx+1>0成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（A．−∞,−2 B．−∞,−4 C．【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2−2x+1>0A．a>2 B．a≥1 C．a>1 D．0<a<【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2−ax+1≥0，则p是qA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−∞【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x∈−1,1时，不等式2kx2−kx−3A．−3,0 B．−3,0 C．−3,18 【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x∈m,m+1，都有x2+mx−1<0成立，则实数mA．−23,0C．−23,0【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2A．m≤6 B．−6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，ax2−2a−1x+3−a<0A．x−1≤x≤4 B．C．x−1≤x≤0或5【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m≤2时，mx2−mx−1<0恒成立，则实数xA．1−B．1−C．1−D．1−【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当−1≤a≤1时，x2+a−4x+4−2a>0恒成立，则实数A．−∞,3 C．−∞,1 【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>A．0,1a1 B．0,2a1【题型4基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈0,+∞，x2−2mx+1>0恒成立，则A．1,+∞ B．−1,1 C．−∞,1【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式ax−2x2+bx−5≥0恒成立，则A．2 B．25 C．43 【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+A．24,+∞ B．−∞,2【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x>0,y>0，且1x+2+1y=27A．−4,7 B．−2,7 C．−4,2 【题型5一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0A．−∞,2 C．−∞,2【变式5-1】（22-23高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（A．aa≥−2 B．aa≤−2 C．aa≥−6【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式−x2+ax−1>0有解，则实数aA．a<−2或a>2 B．−2<a<2 C．a≠±2 D．1<a<3【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式−x2+4x≥a2−3a在A．a−1≤a≤4 B．C．aa≥4或a≤−1 D．【题型6一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤aA．a≥1 B．a≥4C．a≥−2 D．a≤4【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式x2−ax+7≥0在区间2,7上有实数解，则a的取值范围是（A．−∞,8 B．−∞,8 C．【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2xA．−374,3 B．−3,134 【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x0∈(0,+∞)，使得xA．−∞,−2,C．−2,6 D．2−【题型7一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x的不等式2x−1>m(x(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m∈−2,2恒成立，求实数x(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>−2，关于x的不等式y≤−3x+3+m在[−2,t]有解，求实数m的取值范围．【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数fx=2x2(1)当a=1时，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若∀x1∈0,1，∃x【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=(1)解关于x的不等式f(x)≤6−3a；(2)若对任意的x∈[1,4]，f(x)+a+5≥0恒成立，求实数a的取值范围(3)已知g(x)=mx+7−3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4 C．2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<23．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线xa+yb=1a>0,b>0上，若关于t的不等式A．−6,1 B．−1,6C．−∞,−1∪5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x，y满足1x+4y=2A．−1,2 B．−C．−2,1 D．−6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x2−axy+y2≥0，对于任意1≤x≤2及A．a|a≤22 B．C．a|a≤13 7．（2023·江西九江·二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2−a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（A．(1,+∞) B．[1,+∞) C．8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0a≠0有实数解．结论（1）：设x1，x2是ρ的两个解，则对于任意的x1，x2，不等式x1+xA．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式a−1x2−2a−1x−4<0A．−2 B．0 C．−4 D．110．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是q,1，则11．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若ax−4x2+b≥0对任意x∈−∞,0恒成立，其中A．−7 B．−5 C．−6 D．−17三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+113．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈0,+∞，使x2−ax+4<0”是假命题，则实数14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a−3<0，则a四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2x−a，且f(1)求a和b的值；(2)若fx≤x−t在−1,016．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数fx（1）求不等式fx（2）若不等式fx≥x2−ax+117．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数f(x)=ax（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实