重难点03 指、对、幂数比较大小问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点03指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用函数的性质比较大小】 2【题型2中间值法比较大小】 3【题型3特殊值法比较大小】 4【题型4作差法、作商法比较大小】 6【题型5构造函数法比较大小】 7【题型6数形结合比较大小】 9【题型7含变量问题比较大小】 12【题型8放缩法比较大小】 141、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（

）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>c=log0.33<故选：A.【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213，b=1.20.2，c=0.52.1，则A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.【解答过程】因为y=log2x所以a=log21因为y=1.2x为增函数，故b=1.2因为y=0.5x为减函数，故0<0.5综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40c=log所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=lna，c=2A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以因为y=2x在R上单调递增，所以2a综上，c>a>b.故选：D.【题型2中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1−2lg2，c=2−log310，则aA．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=eb=1−2lg2=1−lg4，且因为log310>log故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=1e−A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a=e>32【解答过程】a=1e−12因此b<c<a．故选：C．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a=e−1，b=lga，A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a=e−1∈(0,1)，b=所以b<a<c，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12【解答过程】因为y=0.5x在R上单调递减，则0.53.1又因为y=log0.9x在0,+∞上单调递减，则可得c=log1312则12=log综上所述：a<c<b.故选：D.【题型3特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a=log0.50.6，b=0.49−0.3，c=0.6−0.6，则aA．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y=log0.5x在0,+∞上单调递减，所以因为y=x0.6在0,+∞上单调递增，又0.49又53>107>1，所以5故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【解题思路】由对数函数单调性得c<12，构造函数f(x)=2【解答过程】由对数函数单调性得，c=log构造函数f(x)=2x+x,x∈R因为y=2x和y=x单调递增，所以因为2<5，即f(a)<f(b)，所以a<b又f(12)=21所以c<a<b，故选：A．【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a=log1314，b=(1A．a>b>d>c B．a>b>c>d C．b>d>a>c D．a>d>b>c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a=log13log3所以a>b>d>c.故选：A．【变式3-3】（2024·天津和平·一模）设13a=2,b=A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a最小，再利用b3>c【解答过程】由13a=2b=log12下面比较b,c，因为32>2所以b=log而c3=323综上，b>c>a.故选：B.【题型4作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a=3−14，b=32−13，c=A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a<1，0<b<1，c>1，再作商比较a,b的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a=3−1令ab=3−143又因为c=log12故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出【解答过程】因为b−a=ln33又因为c−a=ln55综上所述：c<a<b.故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a=ln26,b=4ln2⋅A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c【解题思路】作差法比较a,b的大小，利用对数的性质比较a,c的大小.【解答过程】a=ln2因为ln2+ln3<lne+a=ln26=则a−b=ln2+ln所以b<a<c.故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a=20.4,b=30.25A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a 【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b的大小，即可得答案.【解答过程】因为函数y=2x在R上单调递增，所以又ab=2因为0.52=0.25<0.343，故0.5<0.343所以log0.70.5>log所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c，故选：B．【题型5构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a=ln72，b=ln7×A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【解题思路】根据0<ln2<1得到c的值最大，然后构造函数fx=1−ln2【解答过程】因为0<ln2<1，所以a=ln7−ln2<ln下面比较a，b的大小．构造函数fx显然fx在0,+因为f8=ln8−ln2−ln故选：C．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a=514，b=54，c=log45，则A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a和b，构造函数y=x4在上∵5144=5>625又∵4b=5，4c=4log45=∴4c=log45∴a>b>c.故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a=log0.20.3,b=log0.3A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．【解答过程】∵0<a=log0.20.3<1，b=又bc因为函数fx=x2−x=x−1所以flg3<flg2<0，所以∴b<c，即a<b<c．故选：C．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x2+log2又f12=−设g(x)=12023x−log又g(1)=12023>0,g(2023)=12023因为c=log76综上可知，c<a<b.故选：B.【题型6数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=由指数函数y=2x与幂函数

当x∈(0,2)时，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2 <所以b<a<c，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log3x=logA．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解题思路】设log3x=log【解答过程】令log3x=log3x=3m+1,4y=在同一坐标系内画出y=3故5故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c∈0,1，得到logab<1=loga【解答过程】令fx又f0由零点存在性定理得a∈0,1则y=logax画出y1=1

可以得到b∈0,1又y2=ax在R上单调递减，画出

可以看出c∈0,1因为12b<12因为a,c∈0,1，故a由ac=log综上，c<a<b．故选：D．【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，所以2x进而将问题转化为函数y=2x,y=故作出函数图像，如图，由图可知z>x>y故选：C.【题型7含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a､b､c都是正数，且A．c<b<a B．ab+bc=ac C．4b⋅9【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【解答过程】设4a=6b=9cA.由对数函数的单调性可知，0<logk4<B.ba+c=2C.4aD.1a+1故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．无法确定【解题思路】令aea=b【解答过程】因为a>0，所以ae因为ae所以blnb>0，可得令aea=b所以ea设f(x)=ex，g(x)=ln作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，lna、lnb、lnc同号，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出【解答过程】∵lnc=alnb,lna=blnc且则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna①若a、b、c∈0,1，则lna、lnblna=blnc>lnc，可得a>c，ln②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnlna=blnc>lnc，可得a>c，ln综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，b=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据ec+e−2a=ea+e−c可得ec−e−c=ea−e−2a，由此可构造函数fx=ex−【解答过程】ec故令fx=ex−易知y=−e−x=−1ex和y=e∵e−2a<e−a，故由题可知，ec易知b=log23+作出函数y=log2x则两图象交点横坐标在1,2内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=3−23<0【解答过程】a=0.311.5<b=log又因为log3所以b<c，即d<a<b<c.故选：B.【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a=log35，b=213A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a=log34=812561c=3log所以c>b>a.故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.【解答过程】因为a=19b=6−3c=log所以a<b<c.故选：A.【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=log8.14，b=log3.1A．a<c<b B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a【解题思路】先证明b>0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c<b，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明a<c即可得结论.【解答过程】因为b=log3.1e所以cb又e2≈7.389，所以6.51<所以cb<1，故因为a=log又e2≈7.389，所以8.1>e所以a<ln2，又所以a<c，所以a<c<b，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a=log62，b=log12A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】取到数计算得1b=1+2lg2lg3，1c=1+【解答过程】∵1b=log∴1b∴1b<1c，又b>0，∵1c=1+log∵1a=log∴a<c.∴a<c<b.故选：D.2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m=4，a=2m−3A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log2【解答过程】由3mlog2log3∴log2∴b=4m−5>∴b>0>a.故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a=3log83，b=−12log1316，c=A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c【解题思路】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简a,b,c，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a>b，即可得答案.【解答过程】由题意可得a=3logb=−12log又log2由于lg2>0,故log2综合可得a>b>c，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a=320.7，b=23A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1，让其和a,b,c进行比较，从而得出结果.【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y=32x在R由y=23x的值域，且在R根据对数函数的单调性，y=log3x在(0,+∞)上单调递增，故log34>log3故选：A.5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a=e13，b=ln2，c=A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c的大小，即可得答案；【解答过程】∵a=e13>∴a最大，∵b−c=ln2−log32=∴a>b>c，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c满足e2a2=A．a>b>c B．a<b<cC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e2a2=即得2a=ln4,3b=ln因为y=lnx是0,+∞上的增函数,比较2,2,36,510同时取15次幂,因为幂函数y=因为215=524288,即2>510>故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a=log3πA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】先利用对数函数单调性求出a∈1,1.5，从而确定b>2，c∈1,2，作差法判断出【解答过程】a=log因为332=所以a∈1,1.5log3π−1∈2−log3π令a−c=所以a<c<b.故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=−2x，若2a=logA．f(b)<f(c)<f(a) B．f(a)<f(b)<f(c)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y=c,y=2x,y=log2【解答过程】f(x)=−2x在R上单调递减，在同一坐标系中作y=c,y=2所以a<c<b，故f(b)<f(c)<f(a)，故选：A.二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（

）A．2−0.01>2C．log1.85<log【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log33.01>1，由指数函数的性质可得【解答过程】解：对于A，因为−0.01<−0.001，所以2−0.01<2对于B，因为log23>对于C，因为log1.85>0,log对于D，因为log33.01>log故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（

）A．ba<cC．cba<b【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;

由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=xa在且b>c>1，∴ba对于B：∵0<a<1，∴函数y=logax又∵b>c>1，∴loga∴0>1logb对于选项C：∵0<a<1，则a−1<0，∵幂函数y=xa−1在且b>c>1，∴ba−1<c对于选项D：由选项B可知：0>logba>∵b>c>1，∴c(−logba)<b(−故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5A．lga>lgbC．12a>【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>0<1a=log153，对A，根据对数函数y=lgx在0,+∞对B，因为1a+1b=对C，因为a>b>0，根据指数函数y=12x在R对D，因为a>b>0，1aa+b=a+b当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3−2,213【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=3∴log即三个数中最大的数是log2故答案为：log213．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log1413【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2b=log14c=log故a<b<c，故答案为：a<b<c.14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a=log3322，b=22−33，c=ln【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=−【解答过程】因为y=log33x在故a=log3322因为y=22x所以b=2c=ln故c<a<b.故答案为：c<a<b.四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=log5(1)比较x，y的大小；(2)比较y，z的大小．【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y和中间值1比较大小，即可判断；（2）利用对数函数的单调性，