2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析新人教A版选修1-1

PAGE第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1命题内容标准学科素养1.了解命题的概念．2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．3.能推断一些简洁命题的真假.利用数学抽象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一命题的概念eq\a\vs4\al(预习教材P2－3，思索并完成以下问题)初中学习的什么叫做命题？提示：一般地，对某一件事情做出推断的语句(陈述句)，叫做命题．下列语句的表述形式有什么特点？你能推断这些语句的真假吗？(1)2＋4＝7；(2)垂直于同一条直线的两个不同平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等．提示：这些语句都是陈述句，并且可以推断真假．其中语句(2)(3)(4)推断为真，语句(1)推断为假．学问梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以推断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：推断为真的语句，,假命题：推断为假的语句.))思索陈述句肯定是命题吗？提示：不肯定．学问点二命题的结构eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)命题的构成是什么？提示：条件与结论．视察命题：(1)若整数a是素数，则a是奇数；(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．上述命题的形式是怎样的？提示：这两个命题都是“若p，则q”的形式．学问梳理(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．[自我检测]1．下列语句不是命题的个数为()①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0 B．1C．2D．3答案：B2．下列命题为真命题的是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案：C3．把命题“三角形的内角和等于180°”写成“若p，则q”的形式为________．答案：若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°授课提示：对应学生用书第2页探究一命题的概念[阅读教材P2－3例1及解答]推断下列语句中哪些是命题：(1)空集是任何集合的子集；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；(5)eq\r(－22)＝2；(6)x>15.题型：推断一个语句是不是命题．方法步骤：①依据命题的定义：语句必需满意两个条件：陈述句且能推断真假．②(3)不是陈述句，(6)不能推断真假，其余均是陈述句且能推断真假．因此(3)(6)不是命题，(1)(2)(4)(5)是命题．[例1](1)下列语句中，命题的个数为()①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线必平行吗？④偶数是自然数．A．1 B．2C．3 D．4[解析]②是祈使句，③是疑问句，所以②③都不是命题，①④是命题．故选B.[答案]B(2)“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事务在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.[答案]A方法技巧推断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，命题必需是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以推断真假，含义模糊不清，无法推断真假的语句不是命题．跟踪探究1.推断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)三角形的三个内角的和等于360°；(2)a＋b＝4；(3)2024年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；(4)这是一棵大树；(5)你是高二的学生吗？(6)求证：eq\r(2)是无理数；(7)并非全部的人都喜爱数学；(8)x2＋1>0.解析：(1)这是陈述句，且可以推断真假，因此是命题；(2)由于变量a，b的值不确定，无法推断其真假，因此不是命题；(3)这是陈述句，且可以推断真假，因此是命题；(4)“大树”的标准不确定，无法推断其真假，因此不是命题；(5)这是疑问句，不是命题；(6)这是祈使句，不是命题；(7)可以推断为真，人群中有的人喜爱数学，也存在着不喜爱数学的人，因此是命题；(8)虽然变量x的值不确定，但可以推断其真假，因此是命题．2．给出下列语句：①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3200不是大数；④sinx>－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京高校；⑦函数y＝x2是奇函数．其中是命题的是________．解析：①②⑦均是陈述句且能推断真假，故是命题；③④是陈述句，但不能推断真假，故不是命题；⑤是疑问句，故不是命题；⑥是祈使句，故不是命题，故答案为①②⑦.答案：①②⑦探究二命题真假的推断[教材P4练习2题]推断下列命题的真假：(1)能被6整除的整数肯定能被3整除；(2)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；(3)二次函数的图象是一条抛物线；(4)两个内角等于45°的三角形是等腰直角三角形．解析：(1)真命题；(2)假命题，四边相等的四边形不肯定是正方形，例如菱形；(3)真命题；(4)真命题．[例2]推断下列命题是真命题还是假命题：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)log2x2＝2log2x；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；(4)直线x＋y＝0的倾斜角是eq\f(π,4)；(5)若α＝eq\f(3π,4)，则sinα＝eq\f(\r(2),2)；(6)若x∈A，则x∈A∩B.[解析](1)真命题．由向量加法的三角形法则知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)是假命题，如当x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义．(3)是真命题，若m>1，则Δ＝4－4m<0.(4)是假命题，直线x＋y＝0的倾斜角是eq\f(3π,4).(5)是真命题．(6)是假命题，如当A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1∉A∩B.方法技巧推断命题真假常用的方法(1)干脆法数学中的定义、公理、公式、定理等都是真命题，它们是推断一个命题是否为真命题的依据．(2)举反例法通过构造反例来否定一个命题的正确性，是推断一个命题为假命题的常用方法．跟踪探究3.(1)给定下列命题：①若a>b，则2a>2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③直线x＝eq\f(π,2)是函数y＝sinx的一条对称轴；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，则△ABC是钝角三角形．其中为真命题的是________．解析：①③④是真命题；②是假命题，例a＝eq\r(3)，b＝－eq\r(3)，则a＋b＝0是有理数．答案：①③④(2)下列命题中假命题的个数为()①多边形的外角和与边数有关；②假如数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，多边形的外角和为360°，与边数无关，故①是假命题．对于②，若a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0或a⊥b，故②是假命题．对于③，Δ＝4＋4a2>0，故③是真命题．对于④，若f(x)＝x2－2x－3，x∈(－2,4)的零点为－1和3，但f(－2)·f(4)>0，故④是假命题，故选C.答案：C探究三命题的结构形式[阅读教材P3例3及解答]将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假：(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等．题型：分析命题的条件和结论．方法步骤：①对“若p，则q”的命题中，“p”是命题的条件，“q”是命题的结论．②若命题的表述不是“若p，则q”形式，要先将命题改写为“若p则q”的形式，再确定条件p和结论q：[例3]将下列命题写成“若p，则q”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．[解析](1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．方法技巧1.要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的变更，也能写成“若p，则q”的形式，但要留意语言的流畅性．2．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，推断这种命题真假的方法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可推断“若p，则q”是真；而判定“若p，则q”是假，则只须要举出一个反例即可．跟踪探究4.把下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)钝角的余弦值是负数．解析：(1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数.授课提示：对应学生用书第3页[课后小结](1)推断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否推断真假．(2)推断命题真假的难点是对已有学问的驾驭，尤其是真命题的推断．(3)精确推断命题的条件与结论的关键是把命题改写为“若p，则q”形式．[素养培优]1．对命题的概念把握不清致误给出下列语句：①直角三角形也可能是等边三角形；②若x∈R，则－x2>0；③|x－y|＝x－y；④与0特别特别接近的数．其中是命题的是________．易错分析直角三角形不行能是等边三角形，故①是命题且是假命题；若x∈R，则必有－x2≤0，－x2>0不成立，故②是命题且是假命题．不能误认为假命题不是命题，而将①②错误地推断为不是命题．考查数学抽象及逻辑推理的学科素养．自我订正①是陈述语句