重难点09 极值点偏移与拐点偏移问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1极值点偏移：加法型】 2【题型2极值点偏移：减法型】 3【题型3极值点偏移：乘积型】 5【题型4极值点偏移：商型】 6【题型5极值点偏移：平方型】 7【题型6极值点偏移：复杂型】 8【题型7拐点偏移问题】 91、极值点偏移与拐点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，是高考考查的热点内容，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移，称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.【知识点1极值点偏移问题及其解题策略】1．极值点偏移的概念(1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移.(2)极值点偏移若，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0；(左缓右陡，极值点向右偏移)若若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0.2．极值点偏移问题的一般题设形式(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令，求证：f'(x0)>0；(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令，求证：f'(x0)>0.3．极值点偏移问题的常见解法(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.【知识点2指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题】极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.1．对数均值不等式结论1对任意的a,b>0(a≠b)，有.2．指数均值不等式结论2对任意实数m,n(m≠n)，有.【题型1极值点偏移：加法型】【例1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数fx=lnmx−xm>0．(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有两个不同的零点x1,【变式1-1】（2024·辽宁·三模）已知fx(1)讨论函数fx(2)当a>0时，证明：函数fx有且仅有两个零点x1,【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=xe1x−a(x>0)，且(1)求实数a的取值范围．(2)证明：x1【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx(1)若曲线fx在点1,−1处的切线与曲线gx有且只有一个公共点，求实数(2)若方程gx−fx①求实数a的取值范围；②求证：x1【题型2极值点偏移：减法型】【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2−(2+a)x+a(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=exx−f(x)+x2−(a+1)x−2a+(a−1)lnx（i）证明：2a>e（ii）证明：x2【变式2-1】（2024·湖南株洲·一模）已知函数fx=x+aebx(1)求a、b的值及fx(2)设x1，x2是方程fx=kx【变式2-2】（2024·北京朝阳·二模）已知函数f(1)求曲线y=fx在点0,f(2)若fx≥0恒成立，求(3)若fx有两个不同的零点x1,x2【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）已知b>0，函数fx=x+alnx+b(1)求a，b的值;(2)若方程fx=1e（e为自然对数的底数）有两个实数根x【题型3极值点偏移：乘积型】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，讨论函数fx(2)若fx有两个极值点x①求实数a的取值范围；②求证：x1【变式3-1】（2024·四川眉山·三模）已知函数f(x)=xln(1)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同极值点x1①求a的取值范围；②当x1>4x【变式3-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数fx=x+a(1)求实数a的值并求函数f(x)的极值；(2)若fx1=f【变式3-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数f(x)=a(1−2ln(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2x1≠【题型4极值点偏移：商型】【例4】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx(1)设函数gx=ekx−(2)若方程fx=m有两个不相等的实根x1、x【变式4-1】（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知函数fx(1)若fx恰有两个零点，求a(2)若fx的两个零点分别为x1,x2【变式4-2】（2023·湖北武汉·三模）已知函数fx=ax+a−1(1)讨论函数fx(2)若关于x的方程fx=xex−（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：ex【变式4-3】（2024·全国·一模）已知f(1)若fx≥0，求实数(2)设x1,x2是fx的两个零点（x【题型5极值点偏移：平方型】【例5】（2024·福建南平·模拟预测）已知函数fx=ln(1)讨论fx(2)若方程fx=1有两个不同的根(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx(1)求函数fx在1,3(2)若方程fx=1a有两个不相等的解x1【变式5-2】（2024·四川凉山·二模）已知函数fx(1)若函数fx在R上是增函数，求a(2)设gx=x−12sin【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2ln(1)求实数m的取值范围；(2)求证：t<1；(3)比较t与2e及2m+【题型6极值点偏移：复杂型】【例6】（2024·四川·一模）已知函数fx(1)若a=1，求fx(2)若fx有2个零点x1,【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x2a(1)求a的取值范围；(2)证明：x1【变式6-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=xe(1)求函数fx(2)若方程f(x)=4ex+4elnx有两个不相等的实数根x1【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=1(1)当a≥1时，判断fx(2)若fx存在两个极值点x（ⅰ）证明：x2（ⅱ）证明：x∈1,+∞时，【题型7拐点偏移问题】【例7】（23-24高三下·四川成都·期末）已知函数fx(1)当a=1时，求fx在x=0(2)设函数gx=fx−sinx，当【变式7-1】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设φ′x为函数φx的导数，若α为φ′x已知函数fx=aex−xlnx有两个极值点x(1)求a的取值范围；(2)证明：C在Q处的切线与其仅有一个公共点；(3)证明：f′【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2ln（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.（2）若正实数x1,x2满足【变式7-3】（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）设f′x是函数fx的导函数，若f′x可导，则称函数f′x的导函数为fx的二阶导函数，记为f″(1)研究发现，任意三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，曲线y=fx都有“拐点”，且该“拐点”也是函数(2)已知函数gx（i）求曲线y=gx（ii）若gx1+g一、单选题1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1A．a>1 B．xC．x1⋅x2．（2024·全国·模拟预测）若函数fx=alnx+12x2−2xA．−∞,−5 B．−∞,−5 C．3．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数f(x)=x2+2x3−3ax2+b满足：①定义域为R；②1A．(−2,−1) B．−1,−12 C．124．（2024·辽宁·三模）已知函数f(x)=lnx+12ex2−ax存在两个极值点，若对任意满足f(xA．(2e,C．(2e,1+5．（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．46．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−mx2有两个极值点x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e C．M>e2+17．（2023·四川成都·一模）已知函数fx=lnx2−a2xlnx+aeA．−1e2−e,0 B．−8．（2023·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（①x2x1<e2mA．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（2024·贵州毕节·二模）已知函数fx=xe−x，方程fxA．fx≤1e C．lnx1−10．（2024·山西太原·三模）已知x1是函数fx=x3A．fx的对称中心为0,n B．C．2x1+11．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知函数f(x)=xlnx−x与y=a有两个不同的交点，交点坐标分别为x1,y1，A．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞B．a的取值范围为(−1,0]C．xD．x三、填空题12．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数f(x)=2023ex−ax2−1(a∈R)有两个极值点13．（23-24高三下·云南·阶段练习）若关于x的方程ex−3ax=0有两个不同的实根x1，x2，且x114．（2023·陕西西安·二模）若函数fx=12ax2−ex+1四、解答题15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x(1)求a的取值范围；(2)若fx1=f16．（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=a(ln(1)求证：1+xln(