重难点11 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两次使用余弦定理】 3【题型2等面积法】 3【题型3解三角形中的中线模型】 4【题型4解三角形中的倍角模型】 5【题型5解三角中的角平分线模型】 6【题型6解三角中的高模型】 8【题型7解三角形中的等分点模型】 9【题型8三角形的重心问题】 10【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】 111、解三角形的图形类问题和重要模型解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解.【知识点1三角形图形类问题的解题策略】1．解决三角形图形类问题的常用方法：(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【知识点2解三角形中的重要模型】1.中线模型(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.(2)向量法：.2.倍角模型，这样的三角形称为“倍角三角形”．推论1：；推论2：.3.角平分线模型角平分线张角定理：如图，为平分线，则斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．4.等分点模型如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，．【题型1两次使用余弦定理】【例1】（2024·河南·三模）在△ABC中，AB=32,cos∠BAC=−13,AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD=3，则sinC=（

）A．13 B．33 C．63【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为（A．74 B．72 C．3 【变式1-2】（2024·浙江台州·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC=2ccosA，则A．3 B．32 C．32【变式1-3】（2024·陕西咸阳·三模）在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，M为边AC上一点，满足MC=3AM，若a2+c2−b2A．72 B．37 C．37【题型2等面积法】【例2】（2024·海南·模拟预测）在△ABC中，∠ACB的平分线与对边AB交于点D，若△CAD的面积为△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，则BC=（A．3 B．4 C．6 D．8【变式2-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC=120°，AB=23，AD=233，则A．2 B．3 C．3 D．2【变式2-2】（2024·湖南长沙·三模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=2,b=4.(1)若cosB+2cosA=c(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB,cos∠ACB=−1【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，b(sinB+sinC)=(1)求A；(2)A的平分线AD交BC于D点，9b+c=64，求AD的最大值．【题型3解三角形中的中线模型】【例3】（2024·全国·模拟预测）记△ABC的内角∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，已知2bcos(1)求∠BAC．(2)若b+c=8，且边BC上的中线AD=192，求【变式3-1】（2024·湖南长沙·三模）如图，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A为锐角，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,△ABC的面积为93(1)求BC的长度；(2)求∠APB的余弦值.【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知b1+(1)证明:b=c;(2)若BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为27,求△ABC【变式3-3】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在△ABC中，点M,N分别为BC,AC的中点，AM与BN交于点G，AM=3,∠MAB=45°．(1)若AC=52，求中线BN(2)若△ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围．【题型4解三角形中的倍角模型】【例4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【变式4-1】（2024·内蒙古·三模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a−2(1)求ba(2)若B=2C，证明：△ABC为直角三角形.【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角△ABC中.内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a−2ccos(1)求证：B=2C；(2)求sinB+2【变式4-3】（2024·天津河北·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4,b=3.(1)若cosC=−14，求a(2)在（1）的条件下，求cos2C+(3)若A=2B，求a的值.【题型5解三角中的角平分线模型】【例5】（2024·河北张家口·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边BC上一点，且满足(AD(1)证明：AD=b；(2)若AD为内角A的平分线，且AD=13【变式5-1】（2024·四川攀枝花·三模）请在①2a−b=2ccosB，②③3sin(A+B)=3−2cos2C(1)求角C；(2)若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，求边长a的值．【变式5-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3c+b(1)求角A的大小；(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求BCAD【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）从①c+2ab=cosπ−C已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且______.(1)求角B的大小；(2)若A的角平分线交边BC于点D，且AD=6，c=2，求边b注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【题型6解三角中的高模型】【例6】（2024·四川·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3c(1)求角C的大小；(2)若a=8，△ABC的面积为43，求AB【变式6-1】（2024·福建泉州·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2bcos(1)求角B：(2)若AC边上的高ℎ=34b【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=π3且a+b=7，△ABC的外接圆半径为(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC边AB上的高ℎ.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，sinB+(1)求角A；(2)设AM是△ABC的高，求AM的最大值．【题型7解三角形中的等分点模型】【例7】（23-24高二上·云南·期末）在△ABC中，点D为线段BC的四等分点且靠近点B,∠BAD与∠BAC互补.(1)求ACAD(2)若∠BAD=30∘,AB=4【变式7-1】（2023·湖北·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2(1)判断△ABC的形状；(2)已知D为BC上一点，则当A=2π3，a=33，AD=3【变式7-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=b(1)求角B(2)过B作BD⊥BA，交线段AC于D，且AD=2DC，求角C.【变式7-3】（23-24高三上·湖南长沙·期中）设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，∠BAC=2π3，(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．【题型8三角形的重心问题】【例8】（2024·江苏苏州·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a+bc(1)求角A；(2)若a=6，点M为△ABC的重心，且AM=23，求△ABC【变式8-1】（2023·四川内江·一模）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=6，bsin(1)求角A的大小；(2)M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且AM=23，求△ABC【变式8-2】（2023·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c.且cos(1)求∠ACB的大小；(2)若∠CAB=π6，求【变式8-3】（2023·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,c⋅sinA=a⋅cosC，设(1)求角B的大小；(2)若a=3，过△ABC的重心点G的直线l与边a,c的交点分别为E,F,BC=λBE，BA【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】【例9】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acos(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC【变式9-1】（2023·河南·模拟预测）已知△ABC的外心为O，点M,N分别在线段AB,AC上，且O恰为MN的中点．(1)若BC=3,OA=1，求(2)证明：AM⋅MB=AN⋅NC．【变式9-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A，B，C，D构成的四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4.(1)求△ACD面积的取值范围；(2)若四边形ABCD存在外接圆，求外接圆面积.【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，3b−c(1)求角A的大小；(2)若a=7，△ABC外接圆的半径为R，内切圆半径为r，求Rr一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，则A．73 B．213 C．22．（2024·新疆喀什·三模）在△ABC中，AB=2，BC=7，∠BAC=120°，D是BC边一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD=（

A．23 B．1 C．2 D．3．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinA−sinC=a−bsinA+sinB，若A．33 B．32 C．3 4．（2024·福建福州·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，点M为边BC的中点，若AM=AC，cos2B=cosA+C，则sinA．33 B．63 C．2175．（2024·山西·三模）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=2π3,b2+c2A．2+1 B．23 C．626．（2024·山东泰安·三模）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且bsinBsinA−a=c−asinCsinA，延长BC至点A．1 B．3 C．2 D．37．（2024·广东广州·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的中线AH的长等于（A．172 B．423 C．178．（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G为△ABC的重心，则A．12−429 B．8+429 C．二、多选题9．（2024·广西·二模）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,O为△ABC的重心，cosA=15A．AO=14C．△ABC的面积的最大值为36 D．a的最小值为10．（2024·福建泉州·模拟预测）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，△ABC的面积S=32ABA．A=30°B．△ABC的周长的最大值为6C．若bc=4，则△ABC为正三角形D．若AB边上的中线长等于23311．（2024·云南曲靖·模拟预测）在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，D为边BC上一动点，则（A．BC=2B．当AD为角A的角平分线时，AD=C．当D为边BC中点时，AD=3D．若点P为△ABC内任一点，PA⋅PB三、填空题12．（2024·陕西西安·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=135°，且△ABC的外接圆半径R=1，则△ABC面积的最大值为．13．（202