重难点12 解三角形的最值和范围问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】 2【题型2三角形边长的最值或范围问题】 3【题型3三角形周长的最值或范围问题】 4【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】 5【题型5利用基本不等式求最值（范围）】 6【题型6转化为三角函数求最值（范围）】 7【题型7转化为其他函数求最值（范围）】 8【题型8“坐标法”求最值（范围）】 9【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】 101、解三角形的最值和范围问题解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.【知识点1三角形中的最值和范围问题】1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；(2)利用基本不等式求最值（范围）；(3)转化为三角函数求最值（范围）；(4)转化为其他函数求最值（范围）；(5)坐标法求最值（范围）.2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】【例1】（2024·河北石家庄·三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sinC=23(2)求△ABC面积的最大值．【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA=3(1)求A.(2)求△ABC面积的取值范围.【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.

(1)当α=π3时，求(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.【变式1-3】（2024·上海·三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2c(1)求sinC(2)若c=3，求△ABC面积S的最大值．【题型2三角形边长的最值或范围问题】【例2】（2024·四川·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2csin(1)求A；(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tanA=(1)若B=π6，求(2)若a=2，求b+c的取值范围．【变式2-2】（2024·广东广州·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=bsin(1)求A；(2)若D是边BC上一点（不包括端点），且∠ABD=∠BAD，求CDBD【变式2-3】（2024·江西鹰潭·二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1−sin(1)求证：A+2B=π(2)求a2【题型3三角形周长的最值或范围问题】【例3】（2024·安徽淮北·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c−b=2c(1)试判断△ABC的形状；(2)若c=1，求△ABC周长的最大值.【变式3-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=5(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC=55(2)若AB2+A【变式3-2】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acos(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC【变式3-3】（2024·湖南常德·一模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且acos(1)判断△ABC的形状；(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值.【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是（A．2π3,C．5π6,【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1b2+54A．13 B．23 C．29【变式4-2】（2024·陕西宝鸡·二模）△ABC中，D为BC边的中点，AD=1.(1)若△ABC的面积为23，且∠ADC=2π(2)若BC=4，求cos∠BAC【变式4-3】（2024·北京石景山·一模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bsin(1)求角B的大小；(2)求cosA+【题型5利用基本不等式求最值（范围）】【例5】（2024·山西太原·三模）已知△ABC中，A=120∘，D是BC的中点，且AD=1，则△ABCA．3 B．23 C．1 【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为（A．74 B．72 C．3 【变式5-2】（2024·安徽合肥·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tanA+1A．1+2 B．1+3 C．22【变式5-3】（2024·浙江台州·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC=2ccosA，则A．3 B．32 C．32【题型6转化为三角函数求最值（范围）】【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范围.【变式6-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c−(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．【变式6-2】（2024·河北衡水·一模）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2(1)求角B；(2)求2AD【变式6-3】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π(1)若BC=42，AD=22，求(2)若D=2π3【题型7转化为其他函数求最值（范围）】【例7】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+22【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bcA．33,22 B．2−3,1【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，(1)求a的值；(2)若D为线段BC上一点且满足BD=1,DA平分∠BAC，求△ABC的面积的取值范围.【题型8“坐标法”求最值（范围）】【例8】（23-24高一下·四川宜宾·期末）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若点F为边AD上的动点，则

A．1 B．1516 C．3132【变式8-1】（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，E，F分别为边AB，BC的中点，若DE⋅DF=13，则四边形ABCDA．2 B．23 C．4 D．【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）在等腰△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，B=C=π6，a=23，P是△ABC外接圆上一点，则PAA．−3,23 B．−1,33 C．−2,30 D．−4,20【变式8-3】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（

）A．8,12 B．8C．8,82 D．【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】【例9】（2023·河南开封·三模）已知e1、e2为单位向量，e1−e2=3，非零向量A．7 B．7−1 C．3 D．【变式9-1】（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60∘,E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则AGA．0,23 B．0,43 C．【变式9-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2π3，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则BDA．8−23 B．4+23 C．12−43【变式9-3】（2023·福建厦门·二模）在△AOB中，已知OB=2，AB=1，∠AOB=45°，若OP=λOA+μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1，则OA在OP上的投影向量为meA．−22,1 B．22,1 一、单选题1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，bcosA=1+cosB，则边A．0,1 B．1,2 C．0,2 D．2,32．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知△ABC角A、B、C的对边分别为a、b、c满足2ba−c=sinA+sinA．π6 B．π4 C．π33．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足AB=2，CACA−CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．4．（2024·河南·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acosA+bcosA．43 B．83 C．25．（2024·河南·模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b3+c3b+c=aA．12,24 B．20,24 C．12,24 D．20,246．（2024·江西·二模）在△ABC中，若sinA=2cosBcosCA．1,65 B．1,2+12 7．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB，且a=4A．42 B．62 C．438．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道OAB，已知扇形的半径OP=3，圆心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，AB//OP，则△OAB面积的最大值为（A．334 B．34 C．3二、多选题9．（2024·江苏南京·二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cosA=15，AO=2A．AO=13C．△ABC的面积的最大值为36 D．a的最小值为10．（2024·湖南·二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c=b2cosA+1A．A=2BB．若a=3b，则C．若△ABC为锐角三角形，1tanD．若△ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为11．（2024·河北邯郸·三模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为34a2A．cosAcosB．若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为3C．若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=3，则a+4c三、填空题12．（2024·北京·三模）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为．13．（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b=2，2acosC=2cos14．（2024·江苏盐城·一模）在△ABC中，已知AB=2，BC=3，点P在△ABC内，且满足CP=2，∠APC+∠ABC=π，则四边形ABCP面积的最大值为四、解答题15．（2024·山东菏泽·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判断△ABC的形状；(2)若λ=12，求16．