重难点22 立体几何必考经典解答题全归类（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点22立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1立体几何中的体积问题】 4【题型2立体几何中的线段长度问题】 5【题型3空间角问题】 7【题型4空间点、线、面的距离问题】 9【题型5立体几何中的作图问题】 11【题型6立体几何中的折叠问题】 14【题型7立体几何中的轨迹问题】 16【题型8立体几何中的探索性问题】 17【题型9立体几何建系繁琐问题（几何法）】 20【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】 211、立体几何必考经典解答题全归类空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深；第一小问主要考察空间线面位置关系的证明，难度较易；第二、三小问一般考察空间角、空间距离与几何体的体积等，难度中等偏难；空间向量作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，解题时需要灵活建系．【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】1．求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2．求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2几何法与向量法求空间角】1．几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3．几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4．向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5．几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6．向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点3空间距离的求解策略】1．向量法求点到直线距离的步骤：(1)根据图形求出直线的单位方向向量.(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.(3)垂线段长度.2．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.③等体积法.④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为.【知识点4立体几何中的轨迹问题的解题策略】1．动点轨迹的判断方法动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.2．立体几何中的轨迹问题的常见解法(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.【知识点5立体几何中的探索性问题的求解策略】1．与空间向量有关的探索性问题的求解策略：在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题．解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【题型1立体几何中的体积问题】【例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知三棱柱ABC−A1B1C1，如图所示，P是A1C1，上一动点，点O、D分别是AC、PC的中点，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2(1)求证：OD∥平面PAB(2)当AA1⊥平面ABC，且A【变式1-1】（2024·山东日照·二模）在三棱锥P−ABC中，BA⊥BC，PB⊥平面ABC，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE，AB=BC=BP=1．

(1)求证：AE⊥BE；(2)当二面角E−PA−B的余弦值为33时，求三棱锥E−PCB【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）如图，几何体ABCDEF中，底面ABCD为边长为2的菱形，平面CDEF⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，∠DAB=π(1)证明：CF⊥平面ABCD；(2)若DE=132，平面ADE与平面BCF的夹角为π6【变式1-3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,PD=2AD=2,M为PD的中点，Q为(1)证明：PC//平面BDQ；(2)若二面角B−DQ−C为45°，求三棱锥Q−BCD【题型2立体几何中的线段长度问题】【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，AD//BC，AD⊥AB，点E、F在平面ABCD的同侧，CF//AE，AD=1，AB=BC=2，平面ACFE⊥平面ABCD，EA=EC=3

(1)求证：BF//平面ADE；(2)若直线EC与平面FBD所成角的正弦值为41015，求线段【变式2-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥E−ABCD中，EC⊥平面ABCD,AB∥DC,△ACD为等边三角形，DC=2AB=2,CB=CE，点F为棱BE上的动点．(1)证明：DC⊥平面BCE；(2)当二面角F−AC−B的大小为45∘时，求线段CF【变式2-2】（2024·湖北·模拟预测）如图，AE⊥平面ABCD，E,F在平面ABCD的同侧，AE//DF，AD//BC，(1)若B,E,F,C四点在同一平面内，求线段EF的长；(2)若DF=2AE，平面BEF与平面BCF的夹角为30∘，求线段AE【变式2-3】（2024·湖南·模拟预测）如图1，在五边形ABCDP中，连接对角线AD，AD//BC，AD⊥DC，PA=PD=22,AD=2BC=2DC=4，将三角形PAD沿AD折起，连接PC,PB，得四棱锥P−ABCD（如图2），且PB=22,E为AD的中点，M为

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若平面AMN和平面PAB的夹角的余弦值为38729，求线段【题型3空间角问题】【例3】（2024·青海·二模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均相等，

(1)证明；AO⊥平面BB(2)若二面角C1【变式3-1】（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D

(1)证明：BD⊥CC(2)若M是棱BC上的点，且满足BMBC=2【变式3-2】（2024·黑龙江大庆·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC,∠BAD=90°,AD=2BC=4,AB=2，PA=22,∠PAO=45°，且O是

(1)求证：平面POC⊥平面ABC；(2)若二面角P−AD−B的大小为120∘，求直线PB与平面PAD【变式3-3】（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面(1)求证：平面POB⊥平面PBC；(2)若PB=6，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为155，若存在，求Q在线段【题型4空间点、线、面的距离问题】【例4】（2024·天津和平·二模）如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4，AA1⊥平面ABC，点(1)证明：CC1∥(2)求直线A1D与平面(3)求点D到平面A1【变式4-1】（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG=2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.(1)证明：BD//(2)求直线BD与平面EFG的距离.【变式4-2】（2024·上海·三模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2(1)若AD=DB，求异面直线B1D与(2)若CD⊥B1D，求点B【变式4-3】（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D(1)证明：A1(2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为66，点M为线段BD【题型5立体几何中的作图问题】【例5】（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3.设点D为(1)画出平面α与正三棱柱ABC−A(2)若A1到平面α的距离为32，求AC与平面【变式5-1】（2024·广东广州·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD//AB，∠ABC=90°，AB=2CD，三棱锥B−PCD的体积为223，平面PAD与平面

(1)求四棱锥P−ABCD的体积，并在答卷上画出交线l（注意保留作图痕迹）；(2)若AB=2BC=4，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，在l上是否存在点N，使平面PDC与平面DCN所成角的余弦值为63？若存在，求PN【变式5-2】（2023·广西·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P−ABCD所得的截面为α．(1)若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；(2)求平面CDM与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【变式5-3】（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P−ABCD所得的截面为(1)若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明PBFB(2)求多面体ABCDMF的体积．【题型6立体几何中的折叠问题】【例6】（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥M−BCD，其中△MBD是折叠前的△ABD，过M作BD的垂线，垂足为H，MC=(1)求证：MH⊥CD；(2)过H作MB的垂线，垂足为N，求点N到平面MCD的距离.【变式6-1】（2023·甘肃·一模）如图甲所示的正方形AA′A′1A1中，AA1=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4，对角线AA(1)证明：BM∥平面APQ；(2)求三棱锥M−APQ的体积.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E为线段AB上靠近点A的三等分点，将△ADE沿着DE折叠，得到四棱锥A−BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE,P为线段CE上的点．(1)求证：AD⊥AP；(2)是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为66?若存在，求出线段EP【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角△ABC中AC⊥AB且AC=2，分别沿三角形三边向外作等腰梯形ABB2A2,BCC2B3(1)求证：AA(2)求直线CC1与平面AA【题型7立体几何中的轨迹问题】【例7】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，AB=BC=BP=2，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE,BA垂直于BC．(1)当∠ABE∈π8,(2)当二面角E−PA−B的余弦值为33时，求三棱锥E−PCB【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=3,BC=3(1)求证：点E的轨迹为线段AC(2)求平面ADE与平面ABC夹角的大小．【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形ABDC为圆台O1O2的轴截面，AC=2BD，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为2，E(1)已知圆O2内存在点G，使得DE⊥平面BEG，作出点G(2)点K是圆O2上的一点（不同于A，C），2CK=AC，求平面ABK与平面CDK【变式7-3】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，M，G，N分别是棱AB，BC，CD的中点，(1)求证：面OEF//面ABD；(2)求平面OEF与平面ABN的夹角的余弦值；(3)保持点E，F位置不变，在△BCD内（包括边界）拖动点O，使直线MN与平面OEF平行，求点【题型8立体几何中的探索性问题】【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π(1)设线段BE中点为F，证明：CF∥平面ADE(2)在线段AB上是否存在点M，使得点B到平面CEM的距离等于22，如果存在，求MB【变式8-1】（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱ABCD−A1B1C1D(1)证明:BC⊥平面MM(2)求直线BC与平面BDA1所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得PB1//【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，D=60°,DC=2AD=2，将△ADC沿AC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P−ABC，如图2．(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(2)在线段PC上是否存在点M，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为58，若存在，求出|PM|【变式8-3】（2024·天津·一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、(1)求证：EF//平面PADQ(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PM【题型9立体几何建系繁琐问题（几何法）】【例9】（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C1，各棱长均相等.D，E，F分别为棱(1)证明：平面A1CD⊥平面(2)求直线EF与A1【变式9-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120∘，AB=1，BC=4，PB=23，PD⊥CD，点E是BC

(1)求证：PE⊥AD；(2)求点E到平面PAD的距离．【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，且AB⊥AP，CD⊥DP.(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB，PA⊥PD，求PB与平面ABCD所成角的大小.【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）.如图，底面A1B1C1D1固定在底面α上的盛水容器口为正方形ABCD，侧棱A(1)证明：底面四边形A1(2)若已知四条侧棱垂直于面ABCD，且AA1=DD1=4，BB1=CC1【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】【例10】（23-24高一下·四川成都·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P−ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A−PC−B的大小为θ，则cosγ=（1）当α、β∈0,（2）如图2，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，平面①求∠A②在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面D【变式10-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知Ω是棱长为2的正四面体ABCD，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平面，M为Ω的k阶等距集.(1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为a，求a的所有可能值以及相应的α的个数；(2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A与点B,C,D分别位于β的两侧.若Ω的4阶等距集为b,2b,3b,4b，其中点A到β的距离为b，求平面BCD与β夹角的余弦值.【变式10-2】（23-24高一下·福建三明·期末）阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1−12π∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4+⋯+∠Qk−1P(1)若AC=BD，求四棱柱ABCD−A1B(2)若四棱柱ABCD−A1B1C1D1在顶点(3)截取四面体A1−ABD，若该四面体在点A1处的离散曲率为712，AC【变式10-3】（23-24高一下·湖南长沙·期末）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点(1)证明：CN⊥平面ABB(2)若AA1=(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D−L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.一、单选题1．（2024·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，AB=BC=2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A−BEF的体积为（

）

A．23 B．43 C．222．（2024·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M∈平面A．34π B．17π C．34π3．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体ABCD−A1B1C1DA．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1C．三棱锥F−ABE的体积为18 D．直线BC与平面AEF所成的角为4．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，AC=1,AB=2,BC=3，在线段AB上取一点M，连接CM，如图①所示．将△ACM沿直线CM折起，使得点A到达A′的位置，此时△BCM内部存在一点N，使得A′N⊥平面BCM,NC=7A．25 B．35 C．45．（2024·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点A．22 B．322 C．46．（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′−ACD表面上的动点，且总满足A．4+6−22 B．4+6+7．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD，点E是线段PB上的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为（

）A．π6 B．π4 C．π38．（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG．对于空间任意两点I，J，若线段A．D B．P C．M D．N二、多选题9．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为A．三棱锥C1−EFG的体积为13 B．C．BC1∥平面EFG D．二面角10．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且△PAC和△ABC均是边长为2的等边三角形，D,E,F分别为AB,AC,BC的中点，G为PB上的动点（不含端点），平面EFG交直线PA于H，则下列说法正确的是（