专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.3幂函数与二次函数【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1幂函数的定义】 2【题型2比较幂值的大小】 3【题型3幂函数的图象与性质的综合应用】 3【题型4求二次函数的解析式】 4【题型5二次函数的图象问题】 4【题型6二次函数的最值问题】 6【题型7二次函数的恒成立问题】 61、幂函数与二次函数考点要求真题统计考情分析(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）2020年江苏卷：第7题，5分2024年天津卷：第2题，5分幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.【知识点1幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2求二次函数解析式的方法】1．二次函数解析式的求法(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.【知识点3二次函数的图象与性质】1．二次函数的图象问题(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.2．二次函数的单调性与最值闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.3．二次函数的恒成立问题不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.【题型1幂函数的定义】【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（

）A．幂函数的图象一定过原点B．α=1,3,12时，幂函数C．幂函数的图象会出现在第四象限D．y=2x【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在−∞,0是增函数的是（A．y=1x B．y=x3+1 【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【题型2比较幂值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a3>A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a=log510，b=log48，c=4b−7A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x−x2，当x>2时，f(x)=x−3A．−f−26>fC．−f−26>f【题型3幂函数的图象与性质的综合应用】【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数fx=xα当α=2,3,12,−1A．2 B．3 C．12 【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数fx=xmnm,n∈ZA．m=−3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数y=xmn（m,n均为正整数且m,nA．m,n是奇数且mB．m是偶数，n是奇数，且mC．m是偶数，n是奇数，且mD．m,n是奇数，且m【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数fx=x3+a−2xA．−2,4 B．−3,5 C．−52,2【题型4求二次函数的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f(x)=．①f(x)的最小值为−1；②f(x)的一次项系数为−4；③f(0)=3；④f(x)=f(−x+2)．【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数fx的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且fx在区间−1,4上的最大值为12，则函数fx【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，对任意x∈R，f(x−2)=f(−x)，且【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且不等式fx≤2x的解集为【题型5二次函数的图象问题】【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式aA．−2,1 B．−∞,−2∪1,+∞ C．−2,1 【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0的解集为x∣−1<x<12A．

B．

C．

D．

【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2−x−c>0的解集为{x|−1<x<12A． B．C． D．【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2−bx+c>0的解集为A． B．C． D．【题型6二次函数的最值问题】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx与y轴无交点 D．f【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数f(x)=(a−2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值为ma，当maA．0 B．1 C．12 D．【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）fx=2017x2−2018x+2019×2020,x∈t,t+2.则当A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数fx=ax2+2x的定义域为区间[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【题型7二次函数的恒成立问题】【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−∞【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“∃x>0,ax2+x+1<0A．a≥−14 B．a≥0 C．a≥1 【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（A．−∞,−2 B．−∞,−4 C．一、单选题1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数fx=m2−m−1x2m−3A．2 B．1 C．−1 D．−22．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xbA．c<b<a B．a<c<bC．c<a<b D．a<b<c3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，则f(x)的图象可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<25．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]A．a≥−7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤−76．（2023·四川泸州·一模）已知点(2,18)在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数fx的图象过12,24，Px1A．x1fxC．fx1x8．（2023·江西南昌·二模）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的三个零点分别为1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（

）A．fx=−3xC．fx=110．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式a−1x2−2a−1x−4<0A．−2 B．0 C．−4 D．111．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f(x)=x+1，设g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn−1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．当n≤2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]D．当n>2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]三、填空题12．（2024·北京延庆·一模）已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(−1,0)上单调递减，则α13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数y=a(x−4)+2(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，且P在幂函数f(x)的图像上，则f(x)=．14．（2024·河南·模拟预测）已知函数fx=x2−6x+7在1,mm>1上的最大值为A，在m,2m−1上的最大值为B，若四、解答题15．（2024·山东·二模）已知fx是二次函数，且f(1)求fx(2)若x∈−1,5，求函数f16．（2023·山东·一模）已知二次函数fx满足f(0)=−1，顶点为(1,−2)(1)求函数fx(2)若函数fx在区间[a−1,4]上单调递增