2024-2025学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型课时跟踪训练含解析新人教A版必修3

PAGE第三章概率3．3几何概型3．3.1几何概型[A组学业达标]1．下列关于几何概型的说法错误的是 ()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事务发生的概率与位置、形态无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个解析：几何概型与古典概型是两种不同的概型．答案：A2．在区间(15，25]内的全部实数中随机取一个实数a，则这个实数满意17<a<20的概率是 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,10) D.eq\f(5,10)解析：a∈(15，25]，∴P(17<a<20)＝eq\f(20－17,25－15)＝eq\f(3,10).答案：C3．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 ()A.eq\f(9,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(3,10) D.eq\f(1,5)解析：以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：D4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 ()A.eq\f(1,12) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,6)解析：由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事务“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).答案：C5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：如图，在△ABC中，在AB上取点D使BD＝eq\f(1,4)AB，则eq\f(h,H)＝eq\f(1,4)，此时S△DBC＝eq\f(1,4)S.在AB边上取点P，则全部的随机结果为AB上的点，而使面积大于eq\f(S,4)的点落在AD上，∴P＝eq\f(3,4).答案：C6．在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下视察，则发觉草履虫的概率是__________．解析：由几何概型知，P＝eq\f(3,1000).答案：eq\f(3,1000)7．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是__________．解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在阴影部分内时符合要求．∴P＝eq\f(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,3)×12)),\f(\r(3),4)×22)＝eq\f(\r(3)π,6).答案：eq\f(\r(3)π,6)8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事务的区域，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1可视作试验的全部结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：P＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(1,6)π.答案：eq\f(1,6)π9．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36cm2与81cm2之间的概率．解析：如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事务A为“所作正方形面积介于36cm2与81cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6cm与9cm之间”．取AC＝6cm，CD＝3cm，则当M点落在线段CD上时，事务A发生．所以P(A)＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).10．在街道旁边有一嬉戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析：(1)如图①所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是eq\f(32,92)＝eq\f(32,81).(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时，如图②阴影部分，四块合起来面积为πcm2，故所求概率是eq\f(π,81).[B组实力提升]11．已知事务“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由于满意条件的点P发生的概率为eq\f(1,2)，且点P在边CD上运动，依据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的eq\f(1,4)分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D12．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4) D.eq\f(π－2,4)答案：B13．如图，在正方形围栏内匀称撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是__________．解析：设事务A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事务A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本领件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,（2R）2)＝eq\f(π,4)，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为__________．解析：设圆面半径为R，如图所示：△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1,2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f(3\r(3)R2,4)，所以P＝eq\f(S△ABC,πR2)＝eq\f(3\r(3)R2,4πR2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)15．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析：设事务A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本领件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的