2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第一章1.11.1.1基础练习1．下列语句中，不能作为命题的是()A．地球上有四大洋 B．－5∈ZC．π∉R D．|x＋a|【答案】D【解析】选项D没有做出推断，故不是命题．2．在下列4个命题中，是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．① B．①②C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，为钝角三角形．3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥平面α，b⊥平面β，则下列命题中，是假命题的是()A．若a∥b，则平面α∥平面βB．若平面α⊥平面β，则a⊥bC．若a，b相交，则平面α，β相交D．若平面α，β相交，则a，b相交【答案】D【解析】由已知a⊥平面α，b⊥平面β，若平面α，β相交，a，b有可能异面．4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3【答案】C【解析】方程无实根时，应满意Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．5．命题“方程x2－x＋1＝0有两个实数根”的条件是______________________．【答案】一个方程是x2－x＋1＝0【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式为“若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根”，所以命题的条件是一个方程是x2－x＋1＝0.6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”为______(填“真命题”或“假命题”)．【答案】假命题【解析】当x＝－1时，满意x≠1，但x2－1＝0.故为假命题．7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)对顶角相等；(2)平行四边形的对角线相交于一点且相互平分；(3)偶数能被2整除；(4)当二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．解：(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等．(2)若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且相互平分．(3)若一个数是偶数，则这个数能被2整除．(4)若二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0，则该方程有两个不相等的实数根．8．推断下列语句是否是命题．若是，推断其真假，并说明理由．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列．(2)求证：若方程x2－x＋2＝0无实根．(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)当x＝4时，2x＋1<0.解：(1)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此这是一个假命题．(2)不是命题，它是祈使句．(3)不是命题，它是一个疑问句，没有做出推断．(4)是命题，能推断真假，它是一个假命题．实力提升9．给出下列命题：①若eq\f(2x－1,x)＞1，则x＞1；②若α，β，γ是三个不同的平面，若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；③已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝eq\f(7,9).其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】对于①，由eq\f(2x－1,x)>1，可得eq\f(x－1,x)>0，故x>1或x<0，∴①不正确．对于②，在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，令平面ABB1A1，平面ADD1A1，平面ABCD分别为α，β，γ，∵平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1⊥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ADD1A1不平行，∴②不正确．对于③，∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9)，∴③正确．故选B．10．设实数a，b，t满意|a＋1|＝|sinb|＝t，则下列命题正确的是()A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2＋2a唯一确定C．若t确定，则sineq\f(b,2)唯一确定 D．若t确定，则a2＋a唯一确定【答案】B【解析】∵实数a，b，t满意|a＋1|＝t，∴(a＋1)2＝t2，a2＋2a＝t2－1.t确定，则t2－1为定值，则a2＋2a唯一确定．故选B．11．(2024年山东烟台期末)已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2，))所以1<m<2.故实数m的取值范围是(1,2)．12．摸索究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满意的条件．解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种状况：当a＝0时，方程ax2