中考数学二轮复习平行四边形知识点总结及解析

中考数学二轮复习平行四边形知识点总结及解析

一、选择题

1.如图，QABCD中，对角线AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分别是0C,0D,AB

的中点，下列结论

①BE_LAC

②四边形BEFG是平行四边形

③EG=GF

④EA平分NGEF

其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.在边长为2的正方形A8CO中，P为A8上的一动点，E为4）中点，PE交CD延

长线于Q,过E作EFLPQ交的延长线于尸，则下列结论：①AAPEMADQE；

②PQ=EF；③当P为A8中点时，CF=6；④若H为QC的中点，当P从A移动

到8时，线段石”扫过的面积为!，其中正确的是（）

2

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

3.如图，菱形4B8中，A8=4,NA8C=120,点E是边A6上一点，占尸在BC

上，下列选项中不正确的是（）

A.若AE+B=4,则八4。£乌八8。尸

B.若。ELA。，OE_LCO,则后尸=2百

C.若ZDEB=ND",则MEF的周长最小值为4+2百

D.若DE=DF，则/ADE+NFDC=60°

4.如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得△ANM,

连BN,若DM=1,则4ABN的面积是（）

5.如图，在矩形ABC。中，4。=14。,从后平分/胡。交。。于点£,给出以下结

2

论：①△ADE为等腰直角三角形；②A50C为等边三角形；③NOOE=70°；

④NE0C=3NEAC;⑤是她。。的中位线.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，在矩形ABC。中，P是边4。上的动点，PELAC于E，PF_LBD于F，

如果AB=3,A£>=4,那么（）

C.PE+PF=5D.3<PE+PF<4

7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是8c边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落

在点F处，当△8,EC是直角三角形时，8E的长为（)

D

B'

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如图，在正方形A8CD中，E为8C上一点，过点E作EF〃CD,交AD于F,交对角线

BD于G,取。G的中点H,连结AH,EH,FH.下列结论：①NEFH=45。；

BESMH11

②△AHgAEHF；③NAEF+/HAD=45°；④若——=2,则----=—•其中结论正确

ECSAHE13

的是（）

BA

CD

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

9.如图，在矩形A8CD中，48=8,BC=4.将矩形沿AC折叠，CD'与AB交于点F,则

5

C.D.6

4

10.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点、,且.点

2

E，产分别在边48,AC上，且NEDF=90°,“为边跖的中点，连接CM交。E

于点N.若DF/IAB,则CM的长为（）

A.—2>/3B.3—C.5—下>D.

346V

二、填空题

11.如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED,正方形对角线交

于点0，连接8,如果AC=4,8=6夜，那么BC=.

12.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P在直线8c上，点。在直线8上，且

2

AP±PQ,当AP=P。时，AP=.

13.如图，&AA8E中，/8=90°,48=8后，将公45后绕点4逆时针旋转45°，得到

过。作。C_LB£交3E的延长线于点C,连接8”并延长交OC于点/，连接

DE交BF于点0.下列结论：①DE平分NHDC；②。O=OE；③CD=HF；

④BC-CF=2CE；⑤〃是BE的中点，其中正确的是

14.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为.

15.已知：一组邻边分别为6cm和10。〃的平行四边形ABC。，NZM3和NABC的平分

线分别交C。所在直线于点E,F,则线段£尸的长为cm.

16.已知：如图，在A5C中，ADVBC,垂足为点。，BELAC＜垂足为点E，

M为A3边的中点，连结ME、MD、ED，设A3=4，N2XC=3O。则

EM=；EDM的面积为，

A

17.如图，点E、F分别在平行四边形A8C。边8c和4。上（E、F都不与两端点重合），

连结AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点H.令——=〃，

BC

EC

一=〃?.若机=〃，则图中有个平行四边形（不添加别的辅助线）：若

BC

rn+n=\,且四边形A8CD的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

18.如图，在△A8C中，AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点，以AC为斜边作Rt/XAOC,

若NCAD=/8AC=45。，则下列结论：®CD//EF；②EF=DF；③DE平分NCDF；④NDEC=

30°；⑤）AB=6CD；其中正确的是（填序号）

19.如图，在四边形ABC。中，AT>//8C,45=5,3C=18,E是BC的中点.点p以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿向点。运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

r秒时，以点。,2旦。为顶点的四边形是平行四边形，则f的值等于

20.如图所示，已知A8=6,点C,。在线段AB上，AC=DB=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,PB为边在线段A8的同侧作等边△屣?和等边连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是

三、解答题

21.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且/DAF=60。，连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

@ZBCF=。；

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若A8=6,

CD=；BC,请直接写出CF的长及菱形ADEF的面积.

图(2)图(3)

22.综合与探究

(1)如图1,在正方形ABCD中，E是上一点，E是AO延长线上一点，且

DF=BE.CE和CF之间有怎样的关系.请说明理由.

(2)如图2,在正方形ABC。中，E是A3上一点，G是上一点，如果

NGCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+CD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD

中，AD//BC(BC>AD),N3=90°,AB=BC=\2,E是A3上一点，且

Z£)CE=45°,BE=4,求。E的长.

23.如图，在边长为1的正方形ABC。中，E是边。。的中点，点P是边上一点

(与点A、。不重合)，射线PE与的延长线交于点。.

APD

&

BC0

(1)求证：bPDE^kQCE；

(2)若=P。，点F是BP的中点，连结£F、AF,

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②求PE的长.

24.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用

连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在如图（1）的A3边上求作一点N,连接CN,使CN=AM；

（2）在如图（2）的A。边上求作一点。，连接CQ,使CQPA".

25.我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻

折，会发现这其中还有更多的结论.

（发现与证明）A3C。中，AB^BC,将△钻C沿AC翻折至AA9C,连结

结论1：与ABC。重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：BDPAC.

试证明以上结论.

（应用与探究）

在ABC。中，已知3c=2,NB=45，将AABC沿AC翻折至AAB'C,连结B'D

若以A、C、D、夕为顶点的四边形是正方形，求AC的长.（要求画出图形）

26.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,NA的角平分线交边CD于点E.点P从点A出发

沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QHJ_AB于点H,

在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为f秒.

（1）直接写出AQ"的面积（用含，的代数式表示）.

（2）当点M落在BC边上时，求f的值.

（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有

全等三角形，并求出对应的r的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）.

27.在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1,M点坐标为（m,0）,C点坐标

（2）①如图1,P,Q分别为OM,MN上一点，若/PCQ=45。，求证：PQ=OP+NQ；

②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点，SR,HG交于点D.若NSDG=

135°,HG=上叵，则RS=:

2

（3）如图3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动

点P在线段OF是（动点P与。，F不重合），动点Q在线段0A的延长线上，且AQ=

FP,连接PQ交AF于点N,作PMLAF于M.试问：当P,Q在移动过程中，线段MN的

长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由.

28.在正方形4BCZ）中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接4P,

AP的垂直平分线交线段80于点E,连接4E,PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1所示，44PE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

；（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下；（填"成立"或"不成立"）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明；若不成立，请说明理由.

29.在四边形ABCD中，对角线AC、8。相交于点。，过点。的直线EF,GH分别交边

AB、CD,AD,BC于点E、F、G、H.

（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF_LGH,易知SABOE=SAAOG，又因

为四边形ABCD，所以S四边形AEOG=____S正方形ABCD；

4

（2）类比探究：如图②，若四边形48CD是矩形，且S四边形AEOG=—S矩形A88,若48=。，

4

AD=bfBE=m,求4G的长（用含。、b、m的代数式表示）；

（3）拓展迁移：如图③，若四边形A8CD是平行四边形，且S四边形A£0G=-S3ABCD,若4B=

30.已知，矩形ABC。中，AB=4cm,BC=Scmf4c的垂直平分E尸线分别交

AD.BC于点、E、F,垂足为。.

（1）如图1,连接反、CE,求证：四边形AECE为菱形；

（2）如图2,动点P、。分别从A、C两点同时出发，沿△AEB和△C0E各边匀速运

动一周，即点P自Af尸fBfA停止，点。自。一。fEfC停止.在运动过程

中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点。的速度为每秒4cm,运动时间为/秒，当

A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则/=.

②若点P、。的运动路程分别为a、b（单位:cm,而工0）,已知A、C、P、Q四点为顶

点的四边形是平行四边形，则”与b满足的数量关系式为.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性

质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF,BG〃EF〃CD可证四边形BEFG是平行四

边形，可得②正确.由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确.

【详解】

•••四边形ABCD是平行四边形，

1

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,

2

丈；BD=2AD,

OB=BC=OD=DA,且点E是。C中点，

BE±AC,

故①正确，

•••E、F分别是OC、OD的中点，

1

EFIICD,EF=-CD,

2

•点G是RtAABE斜边AB上的中点，

1

GE=—AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,

故③错误，

•••BG=EF,BGIIEFIICD,

四边形BEFG是平行四边形，

故②正确，

,/EFIICDIIAB,

/.ZBAC=ZACD=ZAEF,

AG=GE,

NGAE=ZAEG,

ZAEG=ZAEF,

...AE平分NGEF,故④正确,

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定

理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2.B

解析：B

【分析】

利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；

【详解】

解：①•••四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,/A=NB=90°,

VZA=ZEDQ,ZAEP=ZQED,AE=ED,

.,.△AEP^ADEQ,故①正确，

②作PG_LCD于G,EM_LBC于M,

，/PGQ=NEMF=90°,

；EF_LPQ,

.\ZPEF=90°,

AZPEN+ZNEF=90",

VZNPE+ZNEP=90°,

/.ZNPE=ZNEF,

VPG=EM,

.".△EFM^APQG,

；.EF=PQ,故②正确，

③连接QF.则QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,设CF=x,

则（2+x）2+#=32+X2,

x=l,故③错误，

④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的

中点H与D重合，

故EH扫过的面积为4ESD的面积=},故④正确，

则正确的是①②④，故选B.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大.

3.D

解析：D

【分析】

A.正确，只要证明ADE=8c尸即可；

B.正确，只要证明8C,进而得到EDF是等边三角形,进而得到结论：

C.正确，只要证明DBE=DC产得出DEF是等边三角形,因为8E尸的周长为

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等边三角形。石尸的边长

最小时，3石厂的周长最小，只要求出。石E的边长最小值即可；

D.错误，当EF4C时，DE=DF，由此即可判断.

【详解】

A正确，理由如下：

四边形四8是平行四边形，ZABC=120°

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=ZDBC=60°,

ADB、3OC都是等边三角形，

AD=BD,ZDAE=ZDBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

：.AE=BF,

又AD=BD,=ZDBF,

：.ADE=BDF.

B正确，理由如下：

DF±AD,ADBC,

:.DFrBC,

OBC是等边三角形,

NBDF=30°,DF=—CD=2瓜

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

:.DE=DF,ZEDF=6O°,

：.KDF是等边三角形，

EF=DE=2G

C正确，理由如下：

ZDBE=ZDCF,ZDEB=ZDFC,DB=DC,

DBEsDCF,

DE=DF,ZBDE=ZCDF,BE=CF,

：.ZEDF=ZBDC=60°,

：.DEF是等边三角形，

班正的周长为：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

，等边三角形。所边长最小时，跖下的周长最小，

二当时，DE最小为2百，

8石厂的周长最小值为4+2行.

D错误，当EFAC时，DE=DF，此时NADE+NFQC时变化的不是定值，故错误.

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等的判定的同时，结合等边三角形的性质，涉及到最值问题，仔细分析图

形，明确图形中的全等三角形是解决问题的关键.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

延长MN交AB延长线于点Q,由矩形的性质得出NDMA=/MAQ,由折叠性质得出

ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,得出NMAQ=NAMQ,证出MQ=AQ,设NQ=x,

则AQ=MQ=l+x,证出/ANQ=90。，在R3ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出

NQ=7.5,AQ=8.5,即可求出AABN的面积.

【详解】

解：延长MN交AB延长线于点Q,

•.,四边形ABCD是矩形，

；.AB〃DC,

NDMA=NMAQ,

由折叠性质得：AANM丝△ADM,

.\ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,

/.ZMAQ=ZAMQ,

；.MQ=AQ,

设NQ=x,则AQ=MQ=l+x,

/ANM=90°,

NANQ=90°,

在RtZ^ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AW+NQ2,

(x+1)2=42+x2,

解得：x=7.5,

，NQ=7.5,AQ=8.5,

VAB=5,AQ=8.5,

10101101150

••SANAB=YySANAQ-Y^^AN,NQ.=-r-=-x—x4x7,5=._；

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的

性质是解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

由矩形的性质可得AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90。，ADIIBC,

ABIICD,由角平分线的性质和平行线的性质可判断①，由锐角三角函数可求NACD=

30。，即可判断②，由三角形内角和定理可求NDOE的度数，即可判断③④，由直角三角

形的性质可求CE的长，即可判断⑤.

【详解】

•••四边形ABCD是矩形

AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,ABIICD

・「AE平分NBAD

/.ZDAE=NEAB=45°

,/ABIICD

ZDEA=NEAB=45°

ZDEA=NDAE=45°

AD=DE,且NADE=90°

「.△ADE是等腰直角三角形

故①正确

1

；AD=-AC,NADC=90°

2

ZACD=30°

ZOCB=60°,且OB=OC

△OBC是等边三角形

故②正确

；△OBC是等边三角形

OB=OC=BC

OD=OA=AD=OC=OB

二NODA=NOAD=NDOA=60。，NOCD=NODC=30。，且。D=DE

1800-30°

ZDOE=-----------------=75"

2

故③错误

•••ZEAC=ZOAD-ZDAE=15",ZEOC=ZDOC-ZDOE=1800-ZDOA-75°=120°-75°=45°

ZEOC=3NEAC

故④正确

ZACD=30",

1

.,.AD=—AC,AC=2AD

2

:.CD=Q(2AD?-AD?=6AD,且DE=DO=AD

/.CE=&AD-ADHDE

OE不是△ACD的中位线，

故⑤错误

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求出NACD=30。

是本题的关键.

6.A

解析：A

【分析】

设AC、BD交于点0,连接。P,根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出

△AOD的面积，根据面积关系即可求出答案.

【详解】

设AC、BD交于点O,连接。P,

,/AB=3,AD=4,

；.BD=AC=5,

.•.OA=OD=2,5,

・•,SAOD=；S矩形ABC。=；X3X4=3,

+SDOP~3,

PFLBD于F，

：.-x2.5PE+-x2.5PF^3,

22

-x-(PE+PF)=3,

22

：.PE+PF=—

5

故选：A.

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出AAOD的面积是解题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

分以下两种情况求解：①当点夕落在矩形内部时，连接AC,先利用勾股定理计算出AC

=10,根据折叠的性质得/A8'E=NB=90°,而当AB，EC为直角三角形时，只能得到

ZEB'C=90°,所以点48'、C共线，即NB沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的

点8'处，则EB=EB',AB=AB'=6,可计算出CB'=4,设BE=x,则EB'=x,CE=

8-x,然后在Rt^CEB'中运用勾股定理可计算出x.

②当点8,落在AD边上时.此时四边形ABEB，为正方形，求出BE的长即可.

【详解】

解：当△夕EC为直角三角形时，有两种情况：

①当点夕落在矩形内部时，如图1所示.连结AC,

图1

在Rt/XABC中，48=6,BC=8,

-'-AC—,8?+6?=10,

•••/B沿AE折叠，使点B落在点8'处，

AZAB'E=N8=90°,

当EC为直角三角形时，得到NEB'C=90°,

...点A、8'、C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，如图,

：.EB^EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

设BE=x,则EB'=x,CE=8-x,

在RtZ\B'EC中，

"：EB'2+CB'2=CE2,

.'.x2+42—(8-x)2,

解得x=3,

，BE=3；

②当点B'落在A。边上时，如图2所示.

此时A8EB'为正方形，

；.BE=AB=6.

综上所述，8E的长为3或6.

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质，正方形的判定等知识；熟

练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

8.A

解析：A

【分析】

①根据正方形的性质证明NADB=45。，进而得△DFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形

的三线合一性质得NEFO=45。，故①正确；

②根据矩形性质得AF=EB,N8EF=90。，再证明△AFH丝4EGH得EH=AH,进而证明

△EHF丝△AHD,故②正确；

③由△£”下空/XAHD得NEHF=/AH。，怀得NAEF+/MEF=45。，进而得

ZAEF+ZHAD^45°,故③正确；

④如图，过点“作于点M,与BC交于点N,设EC=FD=FG=x,则BE=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—x,HN=­xf由勾股定理得人印，再由

222

S

三角形的面积公式得73,便可判断④的正误.

3AHE

【详解】

①在正方形ABCD中，/ADC=/C=90。，NAOB=45。,

".,EF//CD,

：.ZEFD=90°,

四边形EFDC是矩形.

在RtZXFDG中，NFDG=45。，

：.FD=FG,

是DG中点，

，ZEFH=—ZfFD=45°

2

故①正确；

②•.•四边形A8EF是矩形，

：.AF=EB,NBEF=90°,

•；8D平分NA8C,

：.ZEBG=ZEGB=45°,

：.BE=GE,

；.AF=EG.

在RtZXFG。中，H是DG的中点，

：.FH=GH,FH1.BD,

'：ZAFH=^ZAFE+ZGfH=90°+45°=135°,

Z£GH=1800-ZEGfi=180°-45°=135°,

NAFH=NEGH,

：./\AFH^/\EGH(SAS),

：.EH=AH,

；EF=AO,FH=DH,

：./\EHF^/\AHD(SSS),

故②正确；

®\"/XEHF^/XAHD,

:.NEHF=ZAHD,

，NAHE=NDHF=90°,

•；AH=EH,

Z4EH=45°,

即NAEF+NHEF=45",

•:/HEF=/HAD,

：.NAEF+NHAD=45°,

故③正确；

④如图，过点，作MN_LAD于点M,与BC交于点N,

设EC=FD=FG=x,贝［IBE=AF=EG=2x,

55

ABC=DC=AB=AD=3xfHM=—xfAM=-x,HN=-x,

222

2

/.AH2=(*%132

—x~>

222

»AHE-AH213

2

故④错误；

故选：A.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何

综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的

性质进行求解即可.

9.B

解析：B

【分析】

由折叠的性质可得/DCA=/ACF,由平行线的性质可得NDCA=NCAB=NACF,可得FA=

FC,设BF=x,在Rt^BCF中，根据CF2=BC2+BF2,可得方程（8-X）2=X2+42,可求BF=

3,AF=5,即可求解.

【详解】

解：设BF=x,

•.•将矩形沿AC折叠，

/DCA=/ACF,

••,四边形ABCD是矩形，

；.CD〃AB,

NDCA=/CAB=NACF,

FA=FC=8-x,

在Rtz^BCF中，：CF2=BC2+BF2,

(8-x)2=x2+42,

.*.x=3,

・・・BF=3,

・・・AF=5,

AAF：BF的值为2,

3

故选:B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

10.C

解析：c

【分析】

根据等边三角形边长为2,在RtABDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分，在

RlACDN中求得CN,利用三角形中位线求得MN的长，最后根据线段和可得CM的

长.

【详解】

解：等边三角形边长为2,BD^-CD,

2

：.BD=—,CD=-,

33

等边三角形ABC中，DF//AB,

:.ZFDC=ZB=(^°,

NEDF=9O°,

;.NBDE=30。,

:.DELBE,

.-.BE=^BD=^,DE=JBD?一BE?=J1|)-(y=g,

如图，连接ZW,则RtADEF中，DM=；EF=FM,

A

F

ER；

/X.it

B]D

ZFDC=ZFCD=60°,

・.△CDb是等边三角形,

4

,CD=CF=-

3f

•.CM垂直平分。尸,

\ZDCN=30°f

42Dn

•.RtACDN中，DF=—,DN=~,CN=—,

333

：EM=FM,DN=FN,

MN^-ED=—,

26

■.CM=CN+MN=—+—=—

366

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定

理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等.熟练掌握这些性质是解题的关键.

二、填空题

11.8

【分析】

通过作辅助线使得△CAO四△GB。，证明aCOG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的长.

【详解】

如图，延长CB到点G,使BG=AC.

•根据题意，四边形ABED为正方形，

Z4=Z5=45°,NEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又•.•三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

.,.Z1+Z5=Z3+Z4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOg/XGBO,

.*.CO=GO=6&，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

...三角形COG为等腰直角三角形，

CG=J。。？+G02=“6夜『+(6⑹*=12，

'：CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案为8.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.

12.h6.或2回

22

【分析】

根据点P在直线BC上，点。在直线CO上，分两种情况：l.P、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

•••四边形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=NCPQ,ZAPB=NPQC

•.・AP=PQ

ABPsPCQ

333

PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

AP-J(-)2+(-)2=-V2

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时：

四边形ABCD是矩形

AP±PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+-=-

222

・•.AP=J（-）2+（-）2=-Vio

V222

故答案为：一或一jia

22

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

13.①②④⑤

【分析】

根据/B=90。，AB=BE,AABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得AABEWAAHD,并且

△ABE和ZiAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确;

利用AAS证明ADHE三ADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDMHF,所以③错误；

根据AABE是等腰直角三角形，川J_JE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,得IUAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

「R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

ZBAE=ZBEA=45",

又二将AABE绕点A逆时针旋转45°,得到MHD,

.".△ABE^AAHD,并且ZkABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45",AE=AD,/AHD=90°,

.\ZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

/.AD//BC,

，NADE=NDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

ZDCE=ZDHE=90°

二由三角形的内角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

，NADC=90。，

，/HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=-x45°=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=ZAHB=(180°-ZBAE)=—x(180°-45°)=67.5,>,

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，NAED=y(180°-ZEAD)=；x(180°-45°)=67.5°,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

.,.OE=OH,

，OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<NHDE=NCDE,

DE=DE

.".△DHE=ADCE(AAS),

，DH=DC,NHDE=NCDE」x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.".ZDFH=180°-ZHDF-ZDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

...△DHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CDxHF,所以③不正确；

如图，过H作HUBC于J,并延长HJ交AD于点I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中点，H是BF的中点,

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

；.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中点，

:四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

：.J是BC的中点，

，H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

14.10+5逐

【分析】

取DE的中点N,连结ON、NG、OM.根据勾股定理可得NG=.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、。、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

1

.".OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

；正方形DGFE,N为DE中点，DE=10,

NG=^jDN2+r）G2=V102+52=5A/5•

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于/DNG的大小为定值，只要ND0N=’NDNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

M、0、N、G四点共线，此时等号成立,

线段MG取最大值10+56.

故答案为：10+5逐.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

15.2或14

【分析】

利用当AB=10cm,AD=6cm,由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长

【详解】

解：如图1,当AB=10cm,AD=6cm

AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

文:ADIICB

ZEAB=ZDEA,

/.ZDAE=ZAED,则AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

；EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如图2,当AD=10cm,AB=6cm,

AE平分NBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=NAED贝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案为：2或14.

I-

A

图1图2

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行

四边形的不同可能性进行分类讨论.

16.2£

【分析】

根据EM是应△A5E斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

求出EW的长；根据已知条件推导出DME是等边三角形,且边长为2,进一步计算即

可得解.

【详解】

解：♦.•4DL8C,M为A8边的中点，AB=4

...在RtAABO中，DM=AM=-AB^-X4=2

同理，在用ZSABE中，EM=AM=-AB=-x4=2

22

:.ZMDA二ZMAD，AMEA=AMAE

•/ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

；•ZDME=ABME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ADAC

=60°

,/DM=EM

：.DME是等边三角形,且边长为2

SEDM=/*2xA/3=A/3

故答案是：2:^3

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.

17.7

【分析】

①若机=〃，则人/=£C,先根据平行四边形的性质得出AD〃5C,AQ=8C,再根据平

行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边

形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形，从而可得

S&EFG=~7