13.2 命题与证 同步练习

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明基础过关全练知识点1命题及其分类1.(2023安徽合肥庐阳月考)下列语句属于命题的是()A.你今天打卡了吗? B.请戴好口罩!C.画出两条相等的线段 D.同位角相等2.(2023安徽蚌埠蚌山期中)下列命题中，为真命题的是()A.两个锐角之和一定为钝角 B.相等的两个角是对顶角C.同位角相等 D.垂线段最短知识点2命题的结构3.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论.(1)直角都相等；(2)末位数字是5的整数能被5整除；(3)三角形的内角和是180°；(4)同角的余角相等；(5)不相等的角不是对顶角.知识点3互逆命题4.(2022江苏无锡中考)请写出命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题：.

知识点4反例5.(2023安徽安庆迎江期中)对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是()A.∠1=∠2=45° B.∠1=50°，∠2=50°C.∠1=50°，∠2=40° D.∠1=40°，∠2=40°知识点5定理与证明6.佳伊在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D.猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，并证明你的结论. (1)佳伊阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的度数求∠EAD的度数，得到下面几组对应值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度302015a30上表中a=；

(2)猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，并说明理由；(3)佳伊突发奇想，将B、C两个字母的位置交换，如图2，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC=80°，∠C=20°时，∠F=°.

知识点6三角形的外角及三角形内角和定理的推论7.(2023安徽安庆迎江期中)如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数是()A.50° B.30° C.20° D.15°8.(2023安徽安庆怀宁期中)如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=108°，则∠DAC的度数为()A.78° B.80° C.82° D.84°9.(2022安徽安庆石化一中期中)将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为.

10.(2023安徽安庆外国语学校期中)补充下列证明过程，并填上推理的依据.已知：如图，∠BEC=∠B+∠C.求证：AB∥CD.证明：延长BE交DC于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C()，∵∠BEC=∠B+∠C，∴∠B=，(等量代换)

∴AB∥CD().能力提升全练11.(2022广西梧州中考改编)下列命题中，是假命题的是()A.-2的绝对值是-2 B.对顶角相等C.三角形的内角和是180° D.如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b12.(2020湖北宜昌中考)能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是() A B C D13.(2023安徽安庆外国语学校期中)下列四个命题中，真命题有()①内错角一定相等；②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；④若a2=b2，则a=b.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14.(2023安徽合肥包河期中)已知命题：“三角形三条高线所在直线的交点一定不在三角形的外部”.小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是()A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形15.(2019北京中考)用三个不等式a>b，ab>0，1a<1A.0 B.1 C.2 D.316.(2023安徽六安舒城月考)命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是命题.(填“真”或“假”)

17.(2020浙江杭州中考)如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A=.

18.(2022安徽亳州利辛期中)如图，三角形ABC中，AC⊥BC，F是边AC上的点，连接BF，作EF∥BC交AB于点E，过点E作DE⊥EF，交BF于点D.求证：∠1+∠2=180°.完成以下证明.证明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠ACB=90°(垂直的定义).∵EF∥BC(已知)，∴∠AFE==90°().

∵DE⊥EF(已知)，∴∠DEF=90°(垂直的定义).∴∠AFE=∠DEF(等量代换).∴∥().

∴∠2=∠EDF().又∵∠EDF+∠1=180°(邻补角互补)，∴∠1+∠2=180°(等量代换).19.(2022安徽安庆石化一中期中)如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.(1)若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并说明理由.素养探究全练20.概念学习：已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.理解应用：(1)判断以下两个命题是不是真命题，若为真命题，则在相应横线上写“真命题”；若不是真命题，则写“假命题”.①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，；

②任意的三角形都存在等角点，.

(2)如图a，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，探究图a中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由.解决问题：(3)如图b，在△ABC中，∠BAC<∠ABC<∠ACB，若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三个内角的度数. 图a 图b21.△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.(1)若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=；

(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；

(3)当点P运动到边AB的延长线上时，如图3，∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明答案全解全析基础过关全练1.D选项A，是问句，未做判断，故本选项错误；选项B，是祈使句，不符合命题的概念，故本选项错误；选项C，是描述性语句，未做判断，故本选项错误；选项D，符合命题的概念，故本选项正确.2.D选项A，∵40°角，40°角是锐角，40°+40°=80°，80°角也是锐角，∴两个锐角之和一定为钝角是假命题；选项B，相等的两个角不一定是对顶角，故是假命题；选项C，两直线平行，同位角相等，故是假命题；选项D，垂线段最短，是真命题.3.解析(1)改写成：如果几个角是直角，那么这几个角相等.这里的条件是“几个角是直角”，结论是“这几个角相等”.(2)改写成：如果一个整数的末位数字是5，那么该整数能被5整除.这里的条件是“一个整数的末位数字是5”，结论是“该整数能被5整除”.(3)改写成：如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°.这里的条件是“一个图形是三角形”，结论是“它的内角和是180°”.(4)改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.这里的条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”.(5)改写成：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.这里的条件是“两个角不相等”，结论是“这两个角不是对顶角”.4.答案如果b-a<0，那么a>b解析命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题是“如果b-a<0，那么a>b”.5.A选项A，满足条件，不满足结论，故本选项符合题意；选项B，不满足条件，也不满足结论，故本选项不符合题意；选项C，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故本选项不符合题意；选项D，不满足条件，也不满足结论，故本选项不符合题意.6.解析(1)20.(2)猜想：∠EAD=12(∠C-∠理由：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-∠C.∵AE平分∠BAC，∠BAC=180°-∠B-∠C，∴∠EAC=12∠BAC=90°-12∠B-1∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-12∠B-12∠C-(90°-∠C)=12(∠(3)如图，过点A作AH⊥CD于H.∵AH⊥CD，FD⊥CD，∴AH∥DF，∴∠F=∠EAH，由(2)可知∠EAH=12(∠ABC-∠C)，∴∠F=12(∠ABC-∠C)=故填30.7.C如图，∵直尺的上、下两边平行，∠2=50°，∴∠4=∠2=50°.∵∠4=∠1+∠3，∠1=30°，∴∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.8.D设∠1=∠2=x，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2x.∵∠DAC+∠3+∠4=180°，∴∠DAC=180°-4x.∵∠BAC=108°，∴x+180°-4x=108°，∴x=24°，∴∠DAC=180°-4×24°=84°.9.答案75°解析如图，易知∠DMC=30°，∴∠AMF=30°，∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°.10.答案三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；∠EFC；内错角相等，两直线平行能力提升全练11.A-2的绝对值是2，故选项A是假命题，符合题意；对顶角相等，故选项B是真命题，不符合题意；三角形的内角和是180°，故选项C是真命题，不符合题意；如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b，故选项D是真命题，不符合题意.12.CC选项中∠α、∠β都为锐角且∠α+∠β>90°，可以证明题中的命题为假命题.13.B两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①是假命题；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②是真命题；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，所以③是真命题；若a2=b2，则a=±b，所以④是假命题.故真命题有2个.14.D根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，可知选项D符合题意.15.D命题①，如果a>b，ab>0，那么1a<1∵a>b，∴a-b>0，又∵ab>0，∴a−bab>0，整理得1a<命题②，如果a>b，1a<1∵1a<1b，∴1a-1命题③，如果ab>0，1a<1∵1a<1b，∴1a-1∴b<a.∴命题③是真命题.综上，真命题的个数为3.16.答案真解析设两个连续整数分别为n，n+1，(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.∵2n+1是奇数，∴命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是真命题.17.答案20°解析∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180°，∴∠ABF=180°-∠EFC=50°，∵∠ABF=∠A+∠E，∠E=30°，∴∠A=20°.18.答案∠ACB；两直线平行，同位角相等；DE；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等19.解析(1)∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=∠A+∠C=80°.∵∠BOD=70°，∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=30°.(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C.理由：∵∠BEC=∠A+∠B，∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.素养探究全练20.解析(1)①真命题.②假命题.(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP.理由：易得∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.(3)∵P为△ABC三个内角的平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，∵P为△ABC的等角点，∠BAC<∠ABC<∠ACB，∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC，∴∠BCP=2∠BAC，∴∠ACB=2∠BCP=4∠BAC.又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°，∴∠BAC=1807