19.9.3 勾股定理 同步练习

19.9.3勾股定理【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）下列数据不是勾股数的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，412．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）A．8，15，17 B．6，8，10 C． D．3．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（

）A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=254．（2020·上海浦东新·八年级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．（2019·上海市进才中学北校八年级阶段练习）以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（

）A．32，42，52； B．2，，；C．； D．，，6．（2022·上海徐汇·八年级期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：37．（2022·上海·八年级单元测试）在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（

）．A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（

）A．4.8 B．4 C．3 D．二、填空题9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．10．（2021·上海·八年级专题练习）已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是______．11．（2017·上海市中国中学八年级阶段练习）若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为_____．三、解答题12．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1．S2．S3．求证：S1+S2＝S3．13．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB=12，BC=13，CD=3，AD=4，求S四边形ABCD14．（2018·上海·八年级期中）如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海浦东新·八年级期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（

）A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，2．（2021·上海·八年级专题练习）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（

）A．； B．； C．； D．．3．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．二、填空题4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．5．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.6．（2022·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．7．（2022·上海·八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是_________________．三、解答题8．（2022·上海·八年级专题练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知直线与双曲线在第一象限交于点，且点的横坐标为4，点在双曲线上.（1）求双曲线的函数解析式；（2）若点的纵坐标为8，试判断形状，并说明理由.11．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求四边形ABCD的面积．12．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，中，，，．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．（1）求的度数；（2）当点P在线段CB上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果，请直接写出的面积．

19.9.3勾股定理（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）下列数据不是勾股数的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41【答案】A【分析】根据勾股数可直接进行求解．【详解】解：A、，所以不是勾股数，故符合题意；B、，所以是勾股数，故不符合题意；C、，所以是勾股数，故不符合题意；D、，所以是勾股数，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．2．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）A．8，15，17 B．6，8，10 C． D．【答案】C【分析】由题意根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行分析即可．【详解】解：A、∵82+152=172，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；B、∵，∴此三角形是直角三角形，故选项错误；C、∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；D、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系．3．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（

）A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即为直角三角形.【详解】A.a=8，b=13，c=11，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；B.a=6，b=10，c=12，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；C.a=40，b=4l，c=9，因为，所以可以判定△ABC为直角三角形；D.a=24，b=9，c=25，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；故选C.【点睛】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.4．（2020·上海浦东新·八年级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故选B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．（2019·上海市进才中学北校八年级阶段练习）以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（

）A．32，42，52； B．2，，；C．； D．，，【答案】C【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【详解】A.

因为(32)2+(42)2≠(52)2所以三条线段不能组成直角三角形；B.

因为22+()2≠()2，所以三条线段不能组成直角三角形；C.

因为(1)2+()2=()2，所以三条线段能组成直角三角形；D.

因为()2+()2≠()2，所以三条线段不能组成直角三角形；故选C.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.6．（2022·上海徐汇·八年级期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：3【答案】A【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可直接进行排除选项．【详解】解：A、由三内角之比为3：4：5可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为5×15°=75°，故不是直角三角形，符合题意；B、由三边长的平方之比为1：2：3可知该三角形满足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，故不符合题意；C、由三边长之比为7：24：25可设这个三角形的三边长分别为，则有，所以是直角三角形，故不符合题意；D、由三内角之比为1：2：3可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为3×30°=90°，是直角三角形，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．7．（2022·上海·八年级单元测试）在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（

）．A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】利用勾股定理逆定理即可知①能确定是直角三角形，再根据三角形内角和为，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．【详解】①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．②．∵，即，∴．∴是直角三角形，故②能确定．③．∵，，∴，即．∴是直角三角形，故③能确定．④．，设，则，，∵，即，解得，∴，∴是直角三角形，故④能确定．故选：D．【点睛】本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和利用三角形内角和等于来求出其中一个角为即判定该三角形为直角三角形是解答本题的关键．8．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（

）A．4.8 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】如图，过作于，先证明：再证明：，再利用面积比证明：，再求解，即可得到答案．【详解】解：如图，过作于，AD平分，故选：【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．【答案】【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．【详解】解：连接、，如下图：由勾股定理得，，，，，∵，，∴，，∴为等腰直角三角形，为直角三角形，∴∴故答案为：【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．10．（2021·上海·八年级专题练习）已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是______．【答案】等腰直角三角形．【分析】根据题意作出，然后根据图形，得到，，可判断的形状．【详解】解：∵各点坐标分别是，和，根据题意，如下图所示则：，，，∴，，∴的形状是等腰直角三角形，故答案是：等腰直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键．11．（2017·上海市中国中学八年级阶段练习）若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为_____．【答案】【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．【详解】∵，∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h，由三角形面积得：，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．三、解答题12．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1．S2．S3．求证：S1+S2＝S3．【答案】见解析【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．【详解】证明：由题意得S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，S1+S2＝S3．【点睛】本题考查的是与勾股定理相关的图形面积问题，掌握“勾股定理”是解本题的关键.13．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB=12，BC=13，CD=3，AD=4，求S四边形ABCD【答案】S四边形ABCD=36【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC=5，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，即可求面积.【详解】解：连接AC，在Rt△ACD中，，∵AB=12，BC=13，∴∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，连接AC，判定△ABC是直角三角形是解题的关键.14．（2018·上海·八年级期中）如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．【答案】这块草坪的面积是36m2【分析】连接AC，由∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm可知AC=5cm；由AC、AD、CD的长可判断出△ACD是直角三角形，根据两三角形的面积可求出草坪的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m，在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m，∴AC2+DC2=169，AD2=169，∴AC2+DC2=AD2即∠ACD=90°，∴四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC===36（m2）；答：这块草坪的面积是36m2．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海浦东新·八年级期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（

）A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．【详解】解：A、32＋32＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；B、42＋（）2＝82，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、52＋52≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．（2021·上海·八年级专题练习）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】解：，，，∵，且，∴为三角形的三边可以构成直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是准确进行计算，熟练运用勾股定理逆定理进行判断．3．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．【详解】A．，即，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故A不符合题意．B．根据三角形内角和与，得出，即，所以是直角三角形，故B不符合题意．C．设，则，，根据三角形内角和，即，解得，即、、．所以不是直角三角形，故C符合题意．D．设，则，，由可知，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键．二、填空题4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．【答案】135°【分析】由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数.设AB＝2x，通过计算证明AC2+AD2=CD2，从而证得ΔACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB的度数．【详解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x，∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2∴AC2=CD2-AD2∵AC2+AD2=CD2∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故答案是：135°.【点睛】此题主要考查学生对勾股定理及逆定理的理解和运用能力，正确得出∠DAC=90°是解题关键．5．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.【答案】【分析】连接CE，延长AD交CE于点F，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，所以可求得△ABC的面积；因点D是BC的中点，所以，，然后可求得AD边上的高CF；根据翻折得到的轴对称图形的性质可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的长．【详解】将△ACD沿AD翻折后，得到图形如图所示，连接CE，延长AD交CE于点F，0在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即，∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF为△ACD的AD边上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质等知识，能够根据勾股定理逆定理判定出直角三角形并根据轴对称的性质进行推导是解题关键．6．（2022·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．【答案】+24【分析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD的值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积．【详解】解：如图，连结BD，∵∠BAD=90°，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴S△ABD=，S△BDC=，∴四边形ABCD的面积是=S△ABD+S△BDC=+24故答案为：+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2022·上海·八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是_________________．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．【详解】解：∵，，∴，∴该三角形为直角三角形，∴其面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．三、解答题8．（2022·上海·八年级专题练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．【答案】234【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．【详解】解：连接如图所示：，，，；在中，，，，，即，是直角三角形．；即绿地的面积为234．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．【答案】135°.【详解】解：连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，∴AC＝，且∠CAB＝45°，又∵AD＝1，CD＝3，∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠CAD＝90°，∴∠A＝∠CAD＋∠CAB＝135°．10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知直线与双曲线在第一象限交于点，且点的横坐标为4，点在双曲线上.（1）求双曲线的函数解析式；（2）若点的纵坐标为8，试判断形状，并说明理由.【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析.【分析】（1）将A点横坐标x=4代入中，得A点纵坐标y=2，可知点A的坐标为（4，2），再将A（4，2）代入求k即可；（2）点B在双曲线上，将y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根据两点间距离公式分别求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是直角三角形．【详解】解：（1）将x=4代入，得y=2，∴点A的坐标为（4，2），将A（4，2）代入，得k=8，∴（2）△OAB是直角三角形．理由：y=8代入中，得x=1，∴B点的坐标为（1，8），又A（4，2），O（0，0），由两点间距离公式得OA＝2，AB＝3，OB＝，∵OA2+AB2=20+45=65=OB2，∴△OAB是直角三角形．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标求法，反比例函数关系式的求法，直角三角形的判定．关键是利用交点坐标将问题过渡．11．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见详解；（2）234【分析】（1）作BD的中垂线MN，作点A关于MN的对称点A′，连接A′D、A′B，则△A′BD即为所求；（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由