17.2.5 用适当的方法解一元二次方程 同步练习

17.2.5用适当的方法解一元二次方程（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）一元二次方程的解是（

）A． B． C．或 D．或2．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2．﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（

）A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）二、填空题3．（2021·上海·八年级期中）一元二次方程的根是_____．4．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）方程的根是______．5．（2021·上海普陀·八年级期末）方程x2﹣4x＝0的解为______．6．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）对于实数a、b，定义一种运算“”为：ab=a(b+1)-b，例如32=3(2+1)-2=7，若x(x+2)=6，则x的值是_______．7．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为___．8．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）若，则________．9．（2021·上海松江·八年级期中）方程的根是________．10．（2021·上海·八年级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为___．三、解答题11．（2021·上海·八年级期中）解方程:.12．（2021·上海·八年级期中）解方程：13．（2022·上海·八年级期末）解方程：x(x+5)=x-414．（2021·上海市罗星中学八年级期中）解方程：（x﹣2）2＋3（2﹣x）﹣10＝0．15．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）解方程：4x（3x+2）﹣（2x﹣5）（3x+2）＝0．16．（2021·上海杨浦·八年级期中）解方程：（2x﹣1）2＝4x．17．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）18．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）19．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）解方程：x2﹣x+＝0．20．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）解方程：（1）（x+3）2=1；（2）解方程：（x+3）（x﹣5）=1；（3）解方程：x（x﹣6）=2（x﹣8）．21．（2021·上海市傅雷中学八年级期中）解方程：．22．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）解方程：．23．（2021·上海普陀·八年级期中）解方程：．24．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）解方程：．25．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（

）A．4 B． C． D．不存在二、填空题2．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）=6，则x2+y2=_____．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程用________法求解较宜，解得方程的根是____________4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程用________法求解较宜，解得方程的根是____________5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于y的方程，用___________法解，得__，__．6．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知、为实数，且，则的值为________．7．（2019·上海市兴陇中学八年级阶段练习）如果实数x满足，那么______.三、解答题8．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）解方程：(x-1)2-2(x-1)=15．9．（2020·上海金山·八年级期中）解方程：10．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）解方程：（1）；（2）11．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）解方程：；12．（2019·上海市仙霞高级中学八年级期中）解方程：2x2﹣5x+1=013．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）15．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）解方程：4（x+3）2﹣9（x﹣3）2＝0．16．（2019·上海市建平香梅中学八年级阶段练习）解方程8（x+2）2＝（3x+1）217．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？18．（2019·上海市兴陇中学八年级阶段练习）设a、b、c都是实数，且满足，求x的值.

17.2.5用适当的方法解一元二次方程（解析版）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）一元二次方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分解因式，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】，，，或．即，．故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程，本题利用因式分解法求解是解题关键．2．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）若关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2．﹣1，则多项式2x2＋bx＋c可因式分解为（

）A．2x2＋bx＋c＝（x﹣2）（x＋1） B．2x2＋bx＋c＝2（x＋2）（x﹣1）C．2x2＋bx＋c＝（x＋2）（x﹣1） D．2x2＋bx＋c＝2（x﹣2）（x＋1）【答案】D【分析】若一元二次方程有两个实数根与，则该一元二次方程可写为的形式，由此可得到答案．【详解】∵关于x的方程2x2＋bx＋c＝0的两根为2．﹣1∴此方程即为也即2x2＋bx＋c可因式分解为∴故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的根的关系，掌握此关系是关键，本题也说明，可以用解一元二次方程的方法来对二次三项式进行因式分解．二、填空题3．（2021·上海·八年级期中）一元二次方程的根是_____．【答案】，【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：，，则，或，解得，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）方程的根是______．【答案】【详解】原方程变形为：x(x-3)=0，解得x1="0"，x2=3.5．（2021·上海普陀·八年级期末）方程x2﹣4x＝0的解为______．【答案】x1＝0，x2＝4【分析】提取公因式，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．【详解】解：，，或，，，故答案是：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法，该题运用了因式分解法．6．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）对于实数a、b，定义一种运算“”为：ab=a(b+1)-b，例如32=3(2+1)-2=7，若x(x+2)=6，则x的值是_______．【答案】-4或2【分析】由新定义可得整理可得再利用因式分解的方法解一元二次方程即可.【详解】解：ab=a(b+1)-b，x(x+2)移项得：或解得：故答案为：-4或2【点睛】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义列出一元二次方程是解本题的关键.7．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为___．【答案】或【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点的纵坐标【详解】x2+6x﹣91＝0即解得点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，当，解得，当时，解得点的纵坐标为或故答案为：或【点睛】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键．8．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）若，则________．【答案】2或3【分析】将看成整体，利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：设，t≥0，原方程化为t2﹣5t+6=0，则（t﹣2）（t﹣3）=0，∴t﹣2=0或t﹣3=0，解得：t1=2，t2=3，即=2或=3，故答案为：2或3．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，会利用整体思想解方程是解答的关键．9．（2021·上海松江·八年级期中）方程的根是________．【答案】x1=0，x2=-3【分析】根据因式分解法即可求解．【详解】∴x=0或x+3=0∴x1=0，x2=-3．故答案为：x1=0，x2=-3．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的应用．10．（2021·上海·八年级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为___．【答案】-3【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得关于a的一元二次方程，且，然后求解即可．【详解】把代入得：，解得：，又，．故答案为：-3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三、解答题11．（2021·上海·八年级期中）解方程:.【答案】【分析】先移项，再利用提公因式法，将原方程转化为两个一元一次方程，然后解一元一次方程，得到答案．【详解】原方程得提公因式得：，或，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，通过因式分解得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．12．（2021·上海·八年级期中）解方程：【答案】【分析】用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【详解】解：或∴原方程的解为：【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．13．（2022·上海·八年级期末）解方程：x(x+5)=x-4【答案】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．【详解】解：，，，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．14．（2021·上海市罗星中学八年级期中）解方程：（x﹣2）2＋3（2﹣x）﹣10＝0．【答案】x1＝0，x2＝7【分析】方程左边先整理，将x﹣2看作整体，然后因式分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：（x﹣2）2＋3（2﹣x）﹣10＝0，（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0，∴（x﹣2﹣5）（x﹣2＋2）＝0，即x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，∴x1＝0，x2＝7．【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．15．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）解方程：4x（3x+2）﹣（2x﹣5）（3x+2）＝0．【答案】．【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：，，，或，或，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．16．（2021·上海杨浦·八年级期中）解方程：（2x﹣1）2＝4x．【答案】，【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再利用公式法求解即可．【详解】解：化为一般形式为：，，判别式，【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．17．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）【答案】【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤分步计算即可．【详解】解：

这里：

∵∴∴【点睛】本题考查一元二次方程的解法，牢记相关的解题步骤并能够准确计算是解决此类题的关键．18．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）【答案】【分析】先移项，再利用配方法求解，即可．【详解】解：，，开平方，得：或，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会灵活选用适当方法解答是解题的关键．19．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）解方程：x2﹣x+＝0．【答案】x1＝，x2＝【分析】首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【详解】解：a＝1，b＝﹣，c＝；b2﹣4ac＝2﹣4×＝1；x＝，故x1＝，x2＝．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知公式法的运用．20．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）解方程：（1）（x+3）2=1；（2）解方程：（x+3）（x﹣5）=1；（3）解方程：x（x﹣6）=2（x﹣8）．【答案】（1）x1=−1，x2=−5；（2）x1=，x2=；（3）x1=x2=4．【分析】（1）先系数化为1，再根据直接开平方法求解即可；（2）先化为一般形式，再配方法求解即可；（3）先化为一般形式，再因式分解法求解即可．【详解】解：（1）（x+3）2=1；整理得（x+3）2=4，x+3=±2，解得x1=−1，x2=−5；（2）（x+3）（x﹣5）=1，整理得x2-2x=16，配方得：x2-2x+1=16+1，即(x-1)2=17，开方得：x-1=，解得x1=，x2=；（3）x（x﹣6）=2（x﹣8），整理得x2-8x+16=0，即（x-4）2=0，x-4=4，解得x1=x2=4．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2021·上海市傅雷中学八年级期中）解方程：．【答案】．【分析】先方程两边同乘以6去分母，再利用公式法解方程即可得．【详解】解：，，，方程中的，则，即，故．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．22．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）解方程：．【答案】x1=-，x2=2．【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：方程整理得：2x2-3x-2=0，因式分解得：(2x+1)(x-2)=0，即2x+1=0或x-2=0，解得：x1=-，x2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．23．（2021·上海普陀·八年级期中）解方程：．【答案】x1=-1，x2=-3．【分析】设x-1=y，利用因式分解法解关于y的一元二次方程求得y的值，再解关于x的一元一次方程即可求解．【详解】解：设x-1=y，则方程变为：y2+6y+8=0，∴(y+2)(y+4)=0，∴y+2=0或y+4=0，∴y=-2或y=-4，即x-1=-2或x-1=-4，∴x1=-1，x2=-3．【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．24．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）解方程：．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣【分析】先化二次项系数为1，然后常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后配成完全平方，再开方求解即可．【详解】解：二次项系数化为1，得：，移项得：，左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，得：∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．25．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：【答案】，【分析】直接利用因式分解的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴原方程的解为：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（

）A．4 B． C． D．不存在【答案】B【分析】先解方程，后利用三角形的三边关系进行取舍，即可得出答案．【详解】解：∵∴当时，，无法构成三角形，舍去当时，这个三角形的周长是故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系，掌握一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系是解题的关键．二、填空题2．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）=6，则x2+y2=_____．【答案】6【分析】设x2+y2=m，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．【详解】设x2+y2=m，原方程可变形为：m(m﹣5)=6，即m2﹣5m﹣6=0．∴(m﹣6)(m+1)=0，解得m1=6，m2=﹣1．∵m=x2+y2≥0，∴x2+y2=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程用________法求解较宜，解得方程的根是____________【答案】

因式分解

【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根．【详解】解：∵，∴，利用因式分解法，得，∴，∴或，∴∴原方程的根是故答案为：因式分解；【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程．4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程用________法求解较宜，解得方程的根是____________【答案】

因式分解

【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：(x+1)(x-2)=0x+1=0或x-2=0所以原方程的根，故答案为：因式分解，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于y的方程，用___________法解，得__，__．【答案】

配方

102

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】，，，，，，故答案为：配方，102，．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．6．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）已知、为实数，且，则的值为________．【答案】１【分析】用换元法，将原式整理为t(t+1)=2，求解方程即可．【详解】解：令，则原方程化简为解得∵∴故故答案为:1【点睛】本题考查了换元法，一元二次解方程，属于简单题，注意解的取值范围是解题关键．7．（2019·上海市兴陇中学八年级阶段练习）如果实数x满足，那么______.【答案】或【分析】设，则原方程化为，解出t的值，即可得到答案.【详解】解：设，则原方程化为：，整理得：，解得：或；∴或；故答案为：或.【点睛】本题考查了解一元高次方程，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤，以及熟练运用换元法解方程.三、解答题8．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）解方程：(x-1)2-2(x-1)=15．【答案】【分析】先移项化为：再把看作是整体未知数利用十字乘法分解因式，再化为两个一次方程，从而可得答案.【详解】解：(x-1)2-2(x-1)=15即或解得：【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握把看作是整体未知数是解本题的关键.9．（2020·上海金山·八年级期中）解方程：【答案】，．【分析】先将原方程整理为一无二次方程的一般形式，再运用因式分解法求解即可．【详解】解：整理得，因式分解得，∴，解得，，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）解方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）移项后利用十字相乘法因式分解即可求解．【详解】解：（1），∴，∴，∴，；（2），，，，即或，解得．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种方法并能灵活运用是解题关键．11．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）解方程：；【答案】．【分析】先通过去括号将方程变形为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】可变形为，，或，或，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．12．（2019·上海市仙霞高级中学八年级期中）解方程：2x2﹣5x+1=0【答案】x=【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【详解】解：∵2x2-5x=-1，∴，∴，即，则，∴x=．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）【答案】．【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】，，，，，或，故方程的解为．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）【答案】．【分析】综合利用利用换元法和因式分解法即可得．【详解】令，则原方程可化为，，或，或，则或，解得或，故原方程的解为．【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．15．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）解方程：4（x+3）2﹣9（x﹣3）2＝0．【答案】x1=，x2=15【分析】方程