2.1-2.2轴对称与轴对称图形、轴对称的性质（一）（解析版）

2.1-2.2轴对称与轴对称图形、轴对称的性质（一）【推本溯源】1.观察右图它们有什么特点？（1）有两个图形

（2）两个图形能完全重合（形状大小一样）

（3）一个图形通过翻折变换得到另一个（位置关系）2.观察右图它们有什么特点？（1）只有1个图形（2）两边能完全重合（形状大小一样）（3）一边通过翻折变换得到另一边由图1我们可以发现：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴。两个图形中的对应点叫做对称点。由图2我们可以发现：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么称这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴。注：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．说一说轴对称与轴对称图形的共同点与不同点，并讨论他们之间的联系共同点：都能通过翻折得到，直到两边能完全重合；

不同点：轴对称是2个图形，轴对称图形是1个图形。

联系：（1）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；（2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形。5.轴对称的性质（一）把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点、点，折痕记为；连接，与相交于点，线段AA′与直线l有什么关系？把纸重新沿l折叠后，点A与A′重合，OA=OA′；直线l把平角∠AOA′分成的两个角相等，且都是直角。定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。几何语言：如图，直线交线段AB于点O,∵∠1＝90°，AO＝BO∴直线是线段AB的垂直平分线6.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点、点，连接．你有什么新的发现？

结论：（1）；（2）直线垂直平分；（3）7.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点C、点C′，连接．你有什么新的发现？你能得出什么结论？（1）（2）直线垂直平分（3）轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（3）成轴对称的两个图形中，对应点的连线互相平行或在同一条直线上.注：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．对应线段相等，对应角相等．【解惑】例1：下列不是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：A、矩形是轴对称图形，则此项不符合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，则此项符合题意；C、菱形是轴对称图形，则此项不符合题意；D、正方形是轴对称图形，则此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义是解题关键例2：如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行线的性质得，由折叠的性质得，再由平角定义求出即可．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，∴，折叠的性质得：，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．例3：如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．【答案】5【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，故答案为5.【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．例4：图（1）是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），在图（1）中，图（3）中用含有的式子表示___________．【答案】【分析】根据平行线的性质和翻折的性质判断即可．【详解】解：在图①中，∵，，∴，∴，在图②中，，在图③中，由折叠的性质得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，图形的翻折变换，运用了数形结合的思想．解题关键是熟练运用翻折的性质、平行线的性质判断角的大小．例5：已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？【答案】(1)见解析(2)元；元【分析】（1）先作出点关于河流的对称点，然后连接，与河流的交点即为所求作的水站的位置，此时最小．（2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，水站修在点处才能使所需的管道最短．（2）解：水管每米的费用为：（元），由题意得，，解得，∴村所付水管费用为（元），村所付水管费用为（元），【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）下列图片中不是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】判断一个图形是否是轴对称图形，关键是要抓住定义，找一条将图形分成两部分的直线，并看这两部分对折后是否重合．【详解】解：由定义可知，选项A、C、D都是轴对称图形，故将其排除．B不是轴对称图形．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由折叠的性质得，再由平行线的性质可求得，从而得解．【详解】解：由折叠得：，四边形是长方形，，，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．3．（2022秋·八年级单元测试）在下列说法中，正确的是（

）A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧【答案】B【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案．【详解】解：A、全等的三角形不一定对称，故A错误，不合题意；B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故B正确，符合题意；C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故C错误，不合题意；D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故D错误，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．4．（2023春·七年级单元测试）如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是______．【答案】2【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：由轴对称图形的定义可得，应该拿走的小正方形的标号是2．故答案为：2．【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．5．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为．若，，则的度数为________．

【答案】/50度【分析】由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，最后再根据平行线性质定理求出．【详解】解：如图，由折叠的性质，可得，

∵纸带对边互相平行∴，∵，∴，又∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．6．（2023春·七年级单元测试）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若线段长为，则的周长为________．【答案】12【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．【详解】解：∵P点关于的对称点，的周长为：cm故答案为：12．【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任一点到两个对应点之间的距离相等．7．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，请你用4种不同的方法在备用图中涂出．【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，画图即可．【详解】解：如图所示，【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称的性质：沿着一直线折叠后重合．【知不足】1．（2023·山东济南·统考三模）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）下列图案中是轴对称图形的有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念逐一分析即可．【详解】解：第1个图形与第4个图形能确定这样的直线，使图形沿这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，第2个，第3个图形不是轴对称图形，故选B【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是解本题的关键，一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形．3．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，将长方形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点B落在点F处，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠求出，，根据，求出，得出，求出即可．【详解】解：根据折叠可知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，求出．4．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为（）

A． B．5 C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度．【详解】解：在上取一点，使，如图，

，，，，，则最小值是垂直时，的长度，∵，．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．5．（2022春·七年级单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字________．【答案】十，中，日（答案不唯一）【分析】根据轴对称的定义写出三个即可．【详解】解：根据轴对称的定义，轴对称图形的汉字：十，中，日．故答案为：十，中，日（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．6．（2023·湖北十堰·统考二模）如图，将矩形纸条折叠，B点的对应点为，折痕为，再次折叠，C点的对应点落在上处，折痕为，则两条折痕的夹角的度数为_________．

【答案】/90度【分析】根据折叠的性质得到，再根据平角的定义得到，即可得到的度数．【详解】解：∵矩形纸片的一角折叠，顶点B落在处，另一角折叠，顶点C落在上的点处，∴，而，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了平角的定义．7．（2022秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，直线是正五边形的一条对称轴，连接，则的度数是______．【答案】/度【分析】根据正五边形的性质解答．【详解】解：多边形是正五边形，，，根据对称的性质，，．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟悉轴对称的性质和五边形的性质是解题的关键．8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，现有一张长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点，点的对应点为点．若，则的度数为________．【答案】/124度【分析】根据题意可知，根据平行线的性质可得，，进而得出，由折叠，得，，进而可得出答案．【详解】由题意，得，，，，由折叠，得，，，故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．9．（2023春·七年级单元测试）如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F．(1)若的周长是，求的长；(2)若，试求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由轴对称的性质可得，由三角形周长公式得到，则，即；（2）根据轴对称的性质得到，进一步推出．【详解】（1）解：∵点M，N分别是点P关于的对称点，∴，∵的周长是，∴，∴，即；（2）解：如图所示，连接，∵点M，N分别是点P关于的对称点，∴，∴．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到，是解题的关键．【一览众山小】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫并积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．

有症状早就医 B．

防控疫情我们在一起 C．

打喷喷摄口鼻 D．

勤洗手勤通风【答案】B【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此作答即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．2．（2023·福建泉州·统考二模）《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点C，D的对应点分别是点G，H，若，则的大小是___________．

【答案】/80度【分析】根据平行线的性质可得，，则．【详解】解：长方形中，，，，，由轴对称的性质得：，，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质、轴对称的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；折叠前后对应角相等．4．（2023春·全国·七年级专题练习）在线段、角、圆、长方形、梯形、三角形、等腰三角形中，不是轴对称图形的有______个．【答案】2【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此作答．【详解】解：线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；角的平分线所在直线就是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；圆有无数条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；长方形有二条对称轴，是轴对称图形，不符合题意；梯形不一定是轴对称图形，符合题意；三角形不一定是轴对称图形，符合题意；等边三角形三条中线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，不符合题意；∴不是轴对称图形的有2个，故答案为：2．【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿某一直线折叠后可以重合．5．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

【答案】，、【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：和关于直线对称，，，，又，，．，，，【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．6．（2023秋·八年级课时练习）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，则的周长等于图中哪一条线段的长？说明理由．

【答案】的周长等于的长，见解析【分析】根据轴对称的性质可得，，，然后求出的周长．【详解】解：的周长等于的长.理由：由对称性可知，，，所以的周长.【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．7．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；(2)如果，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据轴对称的性质得出，就有的周长而求出结论；（2）设，则，由可以求出，由直角三角形的性质就可以求出结论．【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，．∵的周长，∴的周长．∵，，∴的周长；（2）解：设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，三角形的周长公式的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形（阴影部分）为轴对称图形．【答案】答案见解析【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：所补画的图形如下所示：【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是掌握轴对称的概念和性质．9．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；(2)证明这时最小．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作点A关于L的对称点，连接交L于点P，P点即为所求；（2）在L上另取一点，连接、，在中，当点与点P重合时，有：，即：，即问题得证．【详解】（1）如图，作点A关于L的对称点，连接交L于点P，P点即为所求．（2）在L上另取一点，连接、，在中，当点与点P重合时，有：，即：，∴当位于点P时，最小．【点睛】本题属于一类将军饮马的问题，掌握P点的作图方法是解答本题的关键．10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，其中.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画边上的中线；再画的平分线；(2)在图2中，先画于点F；M是边上一点，再画点M关于直线的对称点N．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图可知竖直有个格，取上A点上方两个格的点D，连接；先作的角平分线，点Q是三角形三条角平分线的交点，过Q作射线交于点E；（2）连接，交于点F；作A关于的对称点，过M作交B于点M．【详解】（1）如图，即为所作；（2）如图，和点M即为所作．【点睛】本题考查三角形的高线、中线、角平分线和轴对称，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．11．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知点A，B，C，D．按要求画图：①连接；②画射线；③反向延长交直线于点M；④画点P，使得的值最小，这样画图的依据是___________．（2）如图2，将长方形纸片沿折叠，使得点A和点D分别落到点E和点F处．已知，直接写出的大小．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；④见解析；两点之间线段最短；（2）【分析】（1）根据题意画图即可得出线段，射线，连接、，则与的交点即为点P；（2）先根据，得出，再根据折叠性质得出，即可得出答案．【详解】解：（1）①如图，为所求作的线段；②如图，为所求作的射线；③如图，反向延长交直线于点M；④如图，连接、，交于一点P，则点P为所求作的点；这样画图的依据是两点之间线段最短；故答案为：两点之间线段最短．（2）∵，∴，根据折叠可知，，∴．【点睛】本题主要考查了画线段、射线、直线，两点之间线段最短，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，线段、射线和直线的定义．12．（2023秋·八年级课时练习）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.

(1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴；(2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案；（2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案；【详解】（1）解：由轴对称的性质可得，∵，，，∴与，与，关于对称轴对称，连接即可得到对称轴，如图所示，

（2）解：由轴对称的性质可得，∵，，∴与关于对称轴对称，连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示；【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上．13．（2022秋·八年级单元测试）如图1，点A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连接交于点，设．

(1)求；(2)若点是直线上异于点的任意一点．求证：；(3)如图2，在上求作一点，使最小．作法：

【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用轴对称性质得到边长关系即可求出；（2）利用轴对称换边，再使用三角形三边