2.2 二次函数y=ax²的图像与性质（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

2.2二次函数y=ax²的图像与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B（能力拓展）一、选择题1．（2021·山西九年级二模）已知点Ax1,y1，Bx2A．y1<y2C．y1<y2【答案】A【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质分析，即可得到答案．【详解】∵点Ax1,y1，Bx2∴y<0∴选项B、C错误；∵x1∴y∴选项D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．2．（2021·洛阳外国语学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．【详解】∵四边形是正方形，∴是等腰直角三角形，在等腰中，，则，即．代入二次函数y＝﹣x2+m得，，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标．3．（2021·山东东营九年级期末）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1＝x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2＝x2（x≥0）的图象于点E，则＝（）A． B． C． D．3﹣【答案】B【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．【详解】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得x＝，∴点B（，a），把y＝a代入y2＝x2（x≥0）得x2＝a，则x＝，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1＝（）2＝3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴x2＝3a，∴x＝，∴点E的坐标为（，3a），∴DE＝﹣，．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．4．（2021·内蒙古东胜九年级二模）如图1，在平行四边形中，，；动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿线段运动到点B，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得时到达点B∵动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿线段运动到点B∴∴结合题意，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系∴a对应动点Q和点C重合，如下图：∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发∴∴∴∴如图，过点A作，交于点M∵，∴,∴∴，即故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形、二次函数、一次函数、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．5．（山东淄博中考真题）如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线上，∴，解得：a=1∴抛物线解析式为y=x2．∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2．∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴．∴点D和点P的纵坐标均为2．∴令y=2，得2=x2，解得：．∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）．故选C．二、填空题6．（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为______．【答案】【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线及正方形的面积为18可得∠BOC=45°，OB=6，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD=60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．【详解】解：如图，连接OB，过点B作BD⊥y轴于D，∵正方形的面积为18，∴∠BOC=45°，OB=6，∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD=45°+15°=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=OB=3，∴BD=，∴点B的坐标为（，3），∵点B在抛物线y=ax2（a＞0）的图象上，∴a（）2=3，解得a=．故答案为：．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出点B的坐标是解题的关键．7．（2021·吉林长春市九年级一模）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______．【答案】【分析】根据点B在抛物线y=x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的长即可得到结论．【详解】解：连接OB，如图，∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分，∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，∴x+x2=6，解得x1=2，x2=-3（不合题意舍去），∴B（2，4），∴OB2=22+42=20，∴∵四边形OABC是正方形，∴．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．8．（2021·湖北黄冈九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．

【答案】【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解得，∴抛物线解析式为，设CD、EF分别与轴交于点M和点N，

当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，得到：，解得，(负值舍去)，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．9．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．【答案】【分析】根据待定系数法分别求出直线、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．【详解】解：∵点的坐标为，∴直线的解析式为，∵，∴，∴，设的解析式为，∴，解得，所以直线的解析式为，解，求得，∵，设的解析式为，∴，∴，∴，解求得，设的解析式为，∴，∴，∴，．．．∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．10．（2021·河北天津九年级月考）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与于、两点过点作轴的平行线交于点的，直线，交于点，则______．【答案】##【分析】设，根据已知求得：，，，，，，，，从而，，即可得．【详解】解：设，∵平行于轴，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都是又∵点在上，在中，令得（负值舍去），，，，又∵点的纵坐标与点的纵坐标相同，都是，点在上，∵∴（负值舍去），即有，∵平行于轴，∴点的横坐标与点的横坐标相同，都是∴在中，令得，即有，，∵平行于轴，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都是∵点在上∴在中，令得（负值舍去），，，，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，用含的代数式表示和的长度是解题的关键．三、解答题11．（2021·浙江湖州九年级月考）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．（1）求直线和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．【答案】（1），；（2）【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式；（2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标，【详解】（1）设直线的解析式为，解得直线的解析式为，抛物线过点抛物线的函数解析式为；（2）直线与抛物线相交于B，C两点，，即解得当时，直线令，得所以当时，【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键．12．（2019·广西环江九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……，和，，，……，均在抛物线上，点，，，……，在轴的正半轴上，若四边形，四边形，四边形，……，四边形都是正方形.（1）分别写出点，，的坐标；（2）分别求出正方形和正方形的面积.【答案】（1）(1，1)，(0，2)，(-1，1)（2），．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形是正方形且关于y轴对称，∴∠=45°，又∵点在二次函数图象上，设(x，x)，∴且x＞0，∴x=1即点(1，1)，∴=，，∴(1，1)，(0，2)，(-1，1)；（2）根据正方形的性质，与轴的夹角为45°，故直线解析式为，∵(0，2)，求得直线的解析式为，进而求得(2，4)，(-2，4)，(0，6)，同时求得(0，12)，于是，，，正方形面积=，正方形面积=，正方形面积=，正方形的面积=；【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；13．（2021·江苏泰州市九年级一模）如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若，，求的值，并证明：；（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）成立，理由见解析．【分析】（1）先将A点坐标代入解析式求得a，然后再求C即可；（2）设、然后再求直线AC的解析式，再结合AC2：BC2=1:4列式求得a，再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可；（3）由可得，进而求得a，然再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可．【详解】解：（1）当A（-4，-2）时，A在上，∴，即a=-∴；（2）设、∴A（-1，a），C（0，a），设AC的解析式为y=kx+b则，解得∴AC的解析式为∵AC：BC=1:2∴∴∴B（-2m，4am2），A（2，4a）