2.5等腰三角形的轴对称性（解析版）

2.5等腰三角形的轴对称性【推本溯源】1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，在▲ABD和▲ACD中，∴▲ABD≌▲ACD（SAS）所以三角形ABD和三角形ACD重合。所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）几何语言：∵AB=AC∴∠B=∠C（2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）几何语言：已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言：∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D；（3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°因此，等边三角形的各角都等于60°。几何语言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC证：∵∠A=∠C，∠A=∠B∴AB=BC，BC=CA∴AB=AC=BC∴▲ABC是等边三角形因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。几何语言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等边三角形（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形证：∵∠A=60°，AB=AC∴∠B=∠C==60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等边三角形已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形证：∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等边三角形因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形6.两个斜边的一半（1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证：证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。∵BC=BD,BC+BD=CD∴∵∠B=90°，BC=BD∴AD垂直平分CD∴AC=AD∵∠BAC=30°，∠ABC=90°∴∠C=60°∵AC=AD∴▲ACD是等边三角形∴CD=AC∵∴因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴（2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD证：∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°∵BD=CD∴∠C=∠CBD∴∠A=∠ABD∴AD=BD∵BD=CD，AC=AD+CD∴AC=2BD∴因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点∴【解惑】例1：如图，中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．例2：如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点F、G．

(1)若，求的周长．(2)若，求的度数．【答案】(1)9(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，计算即可．【详解】（1）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，，，的周长；（2），，，，，，，．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．例3：在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（

）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确【答案】C【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案.【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即，由图①可得：，∴；故甲作图痕迹正确；

根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确；故选：C.【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键.例4：如图，在四边形中，，，相交于点E，点G，H分别是，的中点，若，则______．

【答案】/80度【分析】连接和，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据等腰三角形性质求出，求出，即可得出答案．【详解】解：连接和，如图所示，

∵H为的中点，，∴，∵G为的中点，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出是解此题的关键．例5：如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案．【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3．中，，，，，的最大值为6，长不可能是，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．例6：如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，即可解决问题．【详解】证明：，．∵点E、F分别是、的中点，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线为正五边形的对称轴，连接交于点，以为边作等边，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正五边形和等边三角形的性质可得，，，从而可得的度数．【详解】解：∵正五边形，∴，∴，∵等边，直线为正五边形的对称轴，∴，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了正五边形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是结合图形求出相应角的度数.2．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由作图得：垂直平分，平分，根据角平分线和线段垂直平分线的性质求解．【详解】解：如图，由作图得：垂直平分，平分，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，故选：B．

【点睛】本题考查基本作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，∴的周长是，故选：．【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）在中，，点D是的中点，，则_____．【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解答．【详解】解：如图所示，在中，，点D是边的中点，．故答案为：5．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．5．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点为的中点，则为____________．【答案】/4厘米【分析】根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．【详解】解：∵中，，，，∴，∵点为的中点，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是___________．【答案】/120度【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为，即可得到答案．【详解】解：，是顶角，不是底角，它的顶角的度数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和为，是解题的关键．7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则_____度．

【答案】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．8．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，过点D作于点E且交边的延长线于点F，，的长．

【答案】12【分析】根据等边三角形的性质可得，，推得，根据30度的直角三角形的性质可得，根据中线的性质可得，求得，根据30度的直角三角形的性质即可求得．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，∵，且，∴，∵是中线，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30度的直角三角形的性质，中线的性质，熟练运用在直角三角形中30度所对的边是斜边的一半是解题的关键．9．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：在中，为的中点，，，垂足分别为点、，且．求证：是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先推出，再根据全等三角形的性质得到，即可得到结论．【详解】证明：，，垂足分别为点、，，为的中点，，在和中，，，，，是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，中点的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】作于点，根据等腰三角形的性质得出，再证明即可得出结论．【详解】证明：如图，作于点．

，．，．平分，．在和中，，，，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．11．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，，是的中点．求证：．

【答案】见解析【分析】首先连，，再证明，进而得到，然后根据等腰三角形的性质可得．【详解】解：证明：连，，，，在和中，，，，是的中点，．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．【知不足】1．（2023春·广东茂名·七年级校考期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角，进而即可求解．【详解】解：∵一个三角形中两个内角分别是和，∴第三个角为，根据等角对等边，可得这个三角形是等腰三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，等腰三角形的判定，熟练掌握三角内角和定理是解题的关键．2．（湖南省衡阳市八中教育集团2022-2023学年七年级下学期第二次月考数学试题）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（

）A．12 B．15 C．12或15 D．17【答案】B【分析】由题意知，等腰三角形的第三边长为3或6，由三角形的三边关系可得，等腰三角形的第三边长为6，然后求周长即可．【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边长为3或6，由三角形的三边关系可得，等腰三角形的第三边长为6，∴等腰三角形的周长为，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解．【详解】解：中，，点E为的中点，，，，，，，故选B．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．4．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质以及所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质以及所对的直角边等于斜边的一半，熟知垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等、所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．5．（2023·河北保定·统考二模）在解答一道习题时，嘉嘉先作出了的一条高，又作出了的一条角平分线，发现作的是同一条线段，则一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】解：由题意可得：平分，，与是同一条线段，如图所示：∵，，，∴，∴，故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．6．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如果一个等腰三角形的两条边长分别等于3厘米和7厘米，那么这个等腰三角形的周长等于________厘米．【答案】17【分析】分两种情况讨论：当3厘米是腰时,当7厘米是腰时．根据三角形的三边关系检验即可求解．【详解】解：当3厘米是腰时，∵，∴不能构成三角形；当7厘米是腰时，∵，∴能构成三角形，∴三角形的周长是（厘米）．故答案为：17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．7．（2023秋·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在直角三角形中，，D为线段上一点，连接．过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接．若且，则__________．【答案】1.8【分析】延长到点G，使，证明，得，再证明，然后根据即可求出的长．【详解】延长到点G，使，则，∵∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∵平分时，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：1.8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为__________．【答案】3【分析】由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，即可得答案．【详解】解：连接，∵是等边三角形，点E是的中点，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是灵活运用含30度角的直角三角形的性质解决问题．9．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在等边三角形中，点、分别在、上，且，和相交一点，于，，，___________．【答案】【分析】根据等边三角形的性质，得，，根据全等三角形的判定和性质作答即可．【详解】∵是等边三角形，∴，，∵，在和中，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．10．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用证明，得；（2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）证明：、是等边三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．11．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）等边中，，且．

(1)求证：．(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据已知条件，利用证明，即可证明；（2）根据得到，根据，结合外角的性质得到．【详解】（1）解：在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到相等角．12．（2023·广东广州·校考三模）已知一个等腰三角形的底边长a，底边上的高长b．

(1)求作等腰三角形，底边上的高为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）(2)若，则的长为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在垂直平分线上截取，则满足条件；（2）根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，则，所以为等边三角形，从而得到．【详解】（1）解：如图，先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着截取，则为所作；

（2），，平分，，为等边三角形，．【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质及等边三角形点判定与性质．13．（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接．(1)求证：；(2)连接，若，．①判断的形状，并说明理由；②_________．【答案】(1)见解析；(2)①等边三角形，见解析；②．【分析】（1）在和中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）①由（1）、求出长度都为，由等边三角形的定义即可证明；②利用等边对等角、三角形内角和定理可求，在用“直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值．【详解】（1）证明：，，，，在中，，F是中点，；在中，，F是中点，；．（2）解：①等边三角形，理由如下：由（1）知，，，，是等边三角形．②解：由（1）得，同理可证：，是等边三角形，，，，

，，，，，，，，在中，，，．故答案为．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形中相关基本性质的综合运用及等边三角形判断问题，掌握并熟练应用是解决问题的关键．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若＝4，＝10，求的周长；(2)若，，求的度数．【答案】(1)的周长为14；(2)．【分析】（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长；（2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数即可得出答案．【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点，，，，,的周长；故的周长为14．（2），，，，，，故的度数为．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键．【一览众山小】1．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数．【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：

则，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴；当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：

则，∵E为的中点，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴；综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．2．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是____．

【答案】【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，

∴，∴，则当、、三点共线，且时，最小，∵平分，，∴在上，，∵，，∴，即：最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则___________．

【答案】【分析】延长交于点，判定，即可得出，再根据三线合一即可得到即可解答．【详解】解：如图，延长交于点，∵点是的中点，∴，∵平行四边形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中点，∴，∴中，，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．4．（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD中，且，过点A作交BC于点E，若，则___________

【答案】8【分析】如图所示，在延长线上取一点F使得，过点A作交延长线于G，连接，证明是等边三角形，得到，再根据平行线的性质求出，；证明得到，进而求出，则，即可得到，则．【详解】解：如图所示，在延长线上取一点F使得，过点A作交延长线于G，连接，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2023·山东潍坊·统考三模）如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边和还保留着．

(1)小明要在练习册上画出原来的等腰，用到的基本作图可以是___________（填写正确答案的序号）；①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；(2)为边上的中线，若的一个外角为，求的度数．【答案】(1)②或④(2)【分析】（1）作线段的垂直平分线，C垂足为D，的另一边交直线于点C，连接，即为所求作．（2）利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，垂足为D，的另一边交直线于点C，连接，即为所求作．

作，它们的另一边的交点即为点C，则即为所求．而①③⑤的作图均不能画出原来的三角形，故答案为：②或④；（2）解：∵的一个外角为，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知，，点M、N分别在线段、上，请用尺规作图法在线段上求作一点P，使得·（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作的垂直平分线与线段的交点即为所求，此时由可得，由垂直平分线可得，进而得到，则．【详解】作的垂直平分线与线段的交点即为所求点P：【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，轴对称的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记垂直平分线的性质是解题的关键．7．（2023春·广东深圳·七年级校联考期中）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为∵∴【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由．【答案】新知应用：；尝试探究：见解析拓展应用：平分；见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分；（3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分．【详解】新知应用：∵，∴，若，则；若，则，∴；故答案是；尝试探究：证明：如图，延长到点，使得，连接，∵，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即平分；拓展应用：证明：连接，延长到，使，连接，∵，，∴∵在和中，，∴，∴，，又∵，，∴在和中，，∴，∴，∴，即平分；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则

(1)___________，___________；（用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，是等边三角形？(3)当t为何值时，是直角三角形？【答案】(1)，(2)2(3)或3【分析】（1）根据等边三角形得到，再根据运动方向和速度可列代数式；（2）根据等边三角形的判定得：，列等式可得的值；（3）分两种情况：①当时，，则；②当时，，则，分别求出的值．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，，，故荅案为：；（2）是等边三角形，，当时，是等边三角形，则，解得：，当时，为等边三角形；

（3）分两种情况：①如图，当时，，，，则，解得：；

②如图，当时，，，，，解得：，

由题意得：，当或3时，为直角三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、角的直角三角形的性质、动点运动问题，本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定，要注意直角三角形分情况讨论．9．（2023春·江西上饶·七年级统考期中）在如图所示的网格纸中，点，，都在网格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)在图中过点画的垂线，且点在网格点上．(2)在图中画，再画，且点，都在网格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图，取格点P，作直线，则即为所作垂线；（2）根据平移和平行线的性质或等腰三角形的性质画出即可．【详解】（1）如图，取格点P，作直线，则即为所作垂线；

（2）如图2，图中、或、即为所作点．

【点睛】本题考查格点作图，平移的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是理解题意，利用平行线的性质平移是解决此题的关键．10．（2023·河南南阳·统考二模）如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．

(1)求证：是等腰三角形．(2)判断的度数，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接，只需要证明得到，即可证明是等腰三角形；（2）由全等三角形的性质得到，由三线合一定理得到，则，即可求出．【详解】（1）解：证明：，，点是边上的中点，，在和中，，，，是等腰三角形；（2），，，点是边上的中点，，即，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，交于点，点是的中点，交的延长线于点，交于点，．求证：为的角平分线．【答案】证明见解析；【分析】根据全等三角形的判定与性质得到，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．【详解】证明：如图，延长到，使，连接,∵点是的中点,∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即为的角平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，平行线的性质，等腰三角形的性12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）和均为等腰三角形．(1)如图1，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，求证：；(2)如图2，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．若，为中DE边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论．(3)如图1中的和，若在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，求的度数．【答案】(1)证明见详解；(2)，证明见详解；(3)的度数为：或；【分析】（1）根据和均为等腰三角形，，可得和均为等边三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到证明；（2）根据和均为等腰三角形，可得，，，根据为中DE边上的高，即可得到，根据三角形全等边角边判定可得，即可得到答案；（3）由（1）可得和均为等边三角形，，可得，分D在内部与外部两