2.8 -2.9 二次函数的应用（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

2.8—2.9二次函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．（2021·山西晋中市九年级期末）在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【详解】解:当y=0时，y=-x2+x+=0，解得：x1=-2(舍去)，x2=10，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米；故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．3．（2021·江苏苏州市振华中学校九年级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m【答案】B【分析】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点的坐标，从而可得此抛物线顶端到连桥距离．【详解】解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2021·北京市九年级月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）【答案】D【分析】设每件商品的售价上涨x元（x正整数），则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，根据总利润=每件的利润销售量即可求解．【详解】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能准确表示出函数关系式需要的未知量．5．（2021·武汉市九年级月考）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系，再求得即可求得结果；【详解】解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系：

49a＋7b＝196a＋14b，即b＋21a＝0

又时，炮弹所在高度最高，

将b＋21a＝0代入即可得：

x＝10.5．

故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题是解题关键．6．（2021·河南淮滨九年级月考）如图，中，，且，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A． B．C． D．【答案】D【分析】中，，且，所以很容易求得；再由平行线的性质得出，即，进而证明；最后根据三角形的面积公式，解答出与之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：如图示，∵中，，且，，，，，，，，即．故与之间的函数关系的图象自变量的范围为0≤t≤5、开口向上的二次函数图象；故选：．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征．7．（2021·河北青县九年级月考）如图，铅球的出手点距地面米，出手后的运动路线是抛物线，出手后秒钟达到最大高度米，则铅球运行路线的解析式为（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的图象可知顶点为，设顶点式，根据的坐标求得解析式即可．【详解】依题意，抛物线的图象可知顶点为，设解析式为，，则，解得，故抛物线的解析式为．故选C．【点睛】本题考查了实物抛物线，根据图象设顶点式是解题的关键．8．（2021·江苏吴中九年级二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可．【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜园的对角线长为xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．故选：B．【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键．9．（2021·武汉市九年级月考）如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为，则S关于的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件可知，设为，则，根据勾股定理，进而可求出函数解析式，由此可求出答案．【详解】解：四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，（SAS）．设为，则，根据勾股定理，得，即，所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线．由题意可知自变量的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．10．（2021·河北保定市九年级期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：①当时，②与之间的函数关系式为③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；【详解】当时，，故①正确；由题意得：，故②正确；日销售利润为，由题意得：，整理得：，解得：，，∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，∴不合题意，即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；由上问可知：，即，∵，∴当时，，即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；故正确的是①②④；故答案选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．二、填空题11．（2021·北京五十五中九年级月考）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为______．【答案】【分析】根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解题意是解题的关键．12．（2021·北京市九年级月考）有一个抛物线形桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M的距离5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为___m．【答案】15【分析】根据抛物线形的拱桥在坐标系中的位置，找出抛物线上顶点和另一个点的坐标，代入抛物线的顶点式求出抛物线的解析式，再根据铁柱所在地的横坐标求出纵坐标，就是铁柱的高度．【详解】解：由题意，知抛物线的顶点坐标为（20，16），点B（40，0），∴可设抛物线的关系为y=a（x-20）2+16．∵点B（40，0）在抛物线上，∴a（40-20）2+16=0，∴a=，∴y=（x-20）2+16．∵竖立柱柱脚的点为（15，0）或（25，0），∴当x=15时，y=（15-20）2+16=15m；当x=25时，y=（25-20）2+16=15m．∴铁柱应取15m．故答案是：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是知道抛物线在直角坐标系中的位置，选择适当的方法求出二次函数的解析式，运用解析式求出铁柱的高度．13．（2021·苏州市九年级月考）抛物线经过点、两点，点C为抛物线与y轴的交点，点D是直线AC上方的抛物线上一点，则面积的最大值是_________．【答案】4【分析】把A与B坐标代入求出抛物线解析式，再过D作DE与y轴平行，因为，从而表示出S与t的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的最大值即可．【详解】解：∵抛物线过，，∴将、代入解析式得，，解得：，∴抛物线解析式为，∴，∴直线AC的解析式为，过点D作y轴的平行线交AC于点E，连接、，设D点的横坐标为t，则D点的纵坐标为，∴E点的坐标为，∴，∴,∴当时，面积最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练利用铅垂法求三角形的面积．14．（2021·北京市九年级月考）如图假设篱笆（虚线部分）的长度是16m，墙足够长（图中实线部分），则所围成矩形ABCD的最大面积是____m2．【答案】64【分析】设BC=xm，则可得AB=(16-x)m，围成矩形ABCD的面积为ym2，由面积公式可得y关于x的二次函数，求出最大值即可．【详解】设BC=xm，则AB=(16-x)m由题意，得：∵二次项系数－1<0∴当x=8时，函数有最大值64即所围成矩形ABCD的最大面积为64m2．故答案为：64．【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了二次函数的图象与性质，关键是根据题意设恰当的未知量，得到函数关系式．15．（2021·辽宁沈阳市中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．三、解答题16．（2021·洛阳外国语学校九年级月考）某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲师傅建造2m2的费用与乙师傅建造3m2的费用总和为440元，甲师傅建造3m2的费用与乙师傅建造2m2的费用总和为460元．（1）分别求出甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用；（2）若乙师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图），已知墙的长为9米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？【答案】（1）甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；（2）养鸡场的宽AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；（2）首先确定AB的取值范围，然后列二次函数求最值即可．【详解】解：（1）设甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为x元和y元，根据题意得：，解得：答：甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；（2）设AB为z米，面积为S，则BC＝（24﹣3z）米，∵墙长为9米，∴24﹣3z≤9，解得：z≥5，根据题意得：S＝z（24﹣3z）＝﹣3（z﹣4）2+48，∵a＝﹣3＜0，对称轴为z＝4，∴当z＞4时S随着z的增大而减小，∴当z＝5时面积最大为45m2，费用为45×80＝3600元，∴养鸡场的宽AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．【点睛】本题考查了二次函数的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，列出函数解析式．17．（2021·山东济宁九年级月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为ts，（1）BP=_________cm；BQ=_________cm；（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2?（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）12-2t，4t；（2）当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．【详解】解：（1）根据题意得：AP=2tcm，BQ=4tcm，所以BP=（12-2t）cm，故答案为：12-2t，4t；（2）△PBQ的面积S=×BP×BQ=×（12-2t）×4t=-4t2+24t=32，解得：t=2或4，即当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）由题意得：S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【点睛】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．18．（2021·浙江湖州九年级月考）昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量（盆）与销售单价（元/盆）之间的函数关系如图所示：（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围：（2）在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润（元）的最大值．【答案】（1），自变量的取值范围是；（2）这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据，可知该函数为一次函数，过点（80，60），（110，30），然后代入函数解析式，即可得到y与x之间的函数关系式，再根据每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．即可得到x的取值范围；（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，将函数关系式化为顶点式，即可得到这一天销售兰花获得的利润w（元）的最大值．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为，把（80，60）和（110，30）代入，得，解得；∴y与x之间的函数关系式为，∵每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．∴60≤x≤120，由上可得，y与x之间的函数关系式为；（2）根据题意，得；∵∴当时，w有最大值，为1400．答：这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出一次函数解析式，利用二次函数的性质求出w的最大值．19．（2021·山东济宁市九年级月考）图（1）是一个九拱桥，桥拱呈抛物线形，且每个拱的形状、水平高度完全相同．在每一个拱中，当水平宽度AB=12m时，水面与拱底水平，且水面与拱顶的最大距离为4m．如图（2），以水平面为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系．（1）求第一个拱所在的抛物线的表达式；（2）若河水上涨，水面离拱顶最大距离为1m，求拱内水面的宽度；（3）若相邻两个拱底部的距离为2m，第二个拱、第三个拱……沿着x轴依次向右排列，请直接写出第九个拱所在的抛物线的表达式．【答案】（1）；（2）6米；（3）【分析】（1）分别确定点A，B和顶点坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）求出当y=3时x的值即可得出结论；（3）根据平移规律求解即可．【详解】解：（1）设拱桥所在抛物线解析式为根据题意得，A（0，0），B（12，0），图象顶点坐标为（6，4）∴解得，∴抛物线解析式为；（2）当时，，解得，∴拱内水面的宽度为9-3=6米；（3）∴第九个拱所在的抛物线的表达式【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意构建二次函数模型是解题的关键．20．（2021·安徽九年级月考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-12)2+h．小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）．（1）当h=3时，求y与x的关系式．（2）当h=3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由．（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围．【答案】（1）y=-(x-12)2+3；（2）足球能直接射进球门，不会踢飞，见解析；（3）2.24<h<3.24【分析】（1）当h=3时，y=a（x-12）2+3，根据函数图象过原点，求出a的值即可；

（2）当h=3时，由（1）中解析式，分别把x=9和x=18代入函数解析式求出y的值与2.1和2.43比较即可；

（3）由抛物线过原点得到a=①，由足球能越过人墙，得9a+h＞2.1②，由足球能直接射进球门，得0＜36a+h＜2.43③，然后解①②③不等式即可．【详解】解：(1)当h=3时，y=a(x-12)2+3，∵抛物线y=a(x-12)2+3经过点(0，0)，∴0=a(0-12)2+3，解得a=-，∴所求的函数关系式为y=-(x-12)2+3，(2)当h=3时，足球能越过人墙，足球会不会踢飞，理由如下：当h=3时，由(1)得y=-(x-12)2+3，当x=9时，y=-(9-12)2+3≈2.81>2.1，∴足球能越过人墙，当x=18时y=-(18-12)2+3=2.25<2.43，∴足球能直接射进球门，不会踢飞．(3)由题设知y=a(x-12)2+h，函数图象经过点(0，0)，得0=a(0-12)2+h，整理得a=；①由足球能越过人墙，得9a+h>2.1；②由足球能直接射进球门，得0<36a+h<2.43；③把①代入②得9×+h>2.1，解得h>2.24；把①代入③得0<36×+h<2.43，解得0<h<3.24，∴h的取值范围是2.24<h<3.24．【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用利用不等式解决实际问题．21．（2021·山东青岛中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）；（2）；（3）70米【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；

（2）用待定系数法求函数解析式即可；

（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，

∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则，解得，∴y1与x之间的函数关系式为．（2）∵时，，∵的图象是过原点的抛物线，∴设，∴点，在抛物线上．∴，即，解得，∴．答：与的函数关系式为．（3）设小钢球和无人机的高度差为米，由得或.①时，，∵，∴抛物线开口向下，又∵，∴当时，的最大值为；②时，，∵，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，的最