3.2 圆的对称性（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.2圆的对称性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径 B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【答案】B【详解】试题分析：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.考点：圆的有关定义.2．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（）A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB【答案】C【分析】由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC.【详解】解：连接BC∵，∴弧AB=弧BC，∴AB=BC，∵在△ABC中，AB+BC>AC，∴AC<2AB.故选C.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键．3．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形 B．一个圆的直径的长是它半径的2倍C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．直径是圆的弦，但半径不是弦【答案】C【分析】根据圆的特征，轴对称图形的定义，弦的定义逐项进行分析即可．【详解】A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；D.直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆中的有关概念和性质，熟记性质是解本题的关键．4．（2021—2022江苏苏州九年级月考）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．5．（2021—2022内蒙古呼和浩特市九年级期中）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）A． B．C． D．到、的距离相等【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，∵，AO=DO=BO=CO∴（SSS）可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；而由题意不能推出，故A项结论错误．故选：A【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．6．下列说法正确的有多少个（）（1）过圆上一点可以作无数条弦（2）过圆内一点可以作无数条弦（3）弦一定比直径短（4）弦长相等的两个圆是等圆A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据弦、直径及等圆的定义判断即可得答案.【详解】过圆上一点可以作无数条弦，故（1）正确，过圆内一点可以作无数条弦，故（2）正确，在同圆或等圆中，非直径的弦一定比直径短，故（3）错误，半径相等的两个圆是等圆，故（4）错误，∴正确的有（1）（2）共2个，故选B.【点睛】本题考查了圆的有关定义，熟练掌握弦、直径及等圆的定义是解题关键.7．下列说法正确的是（）A．所有的半圆都是等弧B．所有的优弧都大于劣弧C．同圆中劣弧必小于半圆D．圆的一条弦必对着一优弧一劣弧【答案】C【分析】利用等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A.半径相等的半圆是等弧，故该选项错误，B.在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，故该选项错误，C.同圆中劣弧必小于半圆，故该选项正确，D.直径所对的弧是半圆，既不是优弧也不是劣弧，故该选项错误.故选C.【点睛】本题考查了圆的有关定义，了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义是解题关键．8．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】连接OC，如图，利用圆心角、弧的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，可判断△OAC和△OCB都是等边三角形，所以OA＝AC＝OB＝BC，于是可判断四边形OACB为菱形．【详解】解：连接OC，如图，∵C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°，∵OA＝OC，OC＝OB，∴△OAC和△OCB都是等边三角形，∴OA＝AC＝OB＝BC，∴四边形OACB为菱形．故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定．二、填空题9．在同圆或等圆中________弧叫等弧．【答案】能完全重合的【分析】根据等弧的定义解答即可.【详解】在同圆或等圆中能完全重合的弧叫等弧，故答案为：能完全重合的【点睛】本题考查圆的有关定义，熟练掌握等弧的定义是解题关键.10．已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．【答案】【分析】根据题意可得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2，由勾股定理求出即可．【详解】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，∴劣弧的度数为:，∴劣弧所对的圆心角的度数90°，∵⊙的直径是4，∴OB=OC=2，∴BC=，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及勾股定理，根据已知得出圆心角的度数90°，再利用勾股定理求出是解题的关键．11．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为______．【答案】【分析】连接BO，过O作OE⊥AB，根据平行四边形的性质和圆的性质得出△ABO为等边三角形，即∠OAB＝60°，∠AOE＝30°，AE＝AO＝1，OE＝，由平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：连接BO，过O作OE⊥AB与AB交于点E，如图，∵点，，在上，四边形是平行四边形，，∴，∴△ABO为等边三角形，∴∠OAB＝60°，∠AOE＝30°，∴AE＝AO＝1，OE＝，∴四边形的面积：2×＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质和圆的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形中30度所对的边是斜边的一般，以及平行四边形的面积公式，熟练掌握各性质是解题的关键．12．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；（3）如果=，那么____，_____，______．【答案】（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB＝CD，∠AOB＝∠COD，=【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．【详解】（1）∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD；（2）∵AB=CD，∴，∠AOB=∠COD；（3）∵，∴AB=CD，∠AOB=∠COD，．故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．三、解答题13．（2021—2022北京清华附中九年级月考）如图，在⊙O中，，求证：．【答案】证明见解析【分析】由证明再利用同圆半径相等，证明从而可得结论.【详解】解：【点睛】本题考查的是圆的基本性质，两个圆心角，两条弧，两条弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.14．如图，，是的直径，C是上的一点，且．与的大小有什么关系？为什么？【答案】，理由见解析【分析】根据对顶角相等得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得，再结合，即可得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得即可证得．【详解】解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．∴．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，熟练掌握了圆心角、弧、弦的关系是解决本题的关键．15．（2021—2022浙江九年级月考）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由AB=CD得到，则，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论；（2）根据圆周角定理，由得到∠ADC=∠DAB，则EA=ED，然后利用AB=CD得到CE=BE．【详解】证明：（1）AB=CD，即AC=BD；(2)，∠ADC=∠DAB，EA=ED，AB=CD，即AE+BE=CE+DE，CE=BE．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，记住这是关键．16．如图，在中，，是两条弦，，，垂足分别为，．（1）如果，那么与相等吗？说明理由；（2）如果，那么与相等吗？与相等吗？与呢？【答案】（1）相等，见解析；（2），，，见解析【分析】（1）求出∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE＝OF．（2）证，推出，根据垂径定理求出AB＝CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】解：（1）解：OE＝OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，∵在△EOB和△FOD中，∴△EOB≌△FOD（AAS），∴OE＝OF．；（2），，．理由：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．17．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBD．在△OAC与△OBD中，∵，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴OC＝OD．（2）∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴．．【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键．18．（2020—2021黑龙江九年级期中）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝50°，求∠AOC的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE可知，再由即可得出结论；（2）先根据等