3.3 垂径定理（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.3垂径定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021—2022河北九年级期中）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到∠CON=∠BON=40°，进而得到圆心角的度数，进而即可求得AC的长度．【详解】解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN=40°，∴∠AON=80°，∵B为弧AN的中点，∴∠AOB=∠BON=40°，根据垂径定理得，∴∠CON=∠BON=40°，∴∠AOC=120°，∵MN=2，∴OA=OC=1，∴∠OAC=∠OCA=30°，过点O作OG⊥AC于点G，∴AG=CG，OG=OA=，∴AG=CG=，∴AC=．故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．2．（2021·江苏惠山·中考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（）A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2【答案】C【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案【详解】解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为2≤S≤7，∴△CDE面积的最小值为2．故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．3．（2021—2022江苏海安九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=，Q为AC上的动点，P为在Rt△ABC内一动点，且满足∠APB=120°．若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（）A． B． C． D．2-1【答案】A【分析】如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD=PQ+QD′=PD′，根据PD′≥OD′-OP，求出OP，OD′即可解决问题．【详解】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上，过点O作OF⊥BE于点F，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，∴AB=4，则BE=AB=4，过点O作OF⊥BE于点F，∴BF==2，∠OBF=30°，∴OB==4，OB⊥BC，作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD=PQ+QD′≥PD′，∵PD′≥OD′-OP，OP=OB=4，OD′==，∴PD′≥，∴PQ+DQ的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．4．（2021—2022湖北九年级月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-OC．【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中点，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．5．（2020—2021安徽合肥市九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． B．2+ C． D．【答案】B【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．利用垂径定理和勾股定理求出PD、DC，相加即可．【详解】如图，过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA，∵PE⊥AB，AB=，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，在Rt△APE中，PE===1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，在Rt△PDE中，PD=，∵⊙P的圆心是(2，a)，∴a=PD+CD=2+，故选：B．．【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，垂径定理和勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．6．（2021—2022湖南长沙市九年级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（）（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）由余弦三角函数和勾股定理算出HM，HT，再算面积，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）由余弦三角函数和勾股定理算出FK，即可得DK．（5）由(2)可得出，因为△HGD和△HEC不全等，进而可以得出，则，即HG⊥HC是错误的．【详解】解：（1）在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点，故（1）正确；（2）如图，过H作HM⊥AD于M，交BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4−＝，即HM≠HN，∵MNCD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；（3）过H作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝，∴DM＝4−，∵MNCD，∴MD＝HT＝，∴，故（3）正确；（4）由（2）知，HF＝，∴FK＝2HF＝，∴DK＝DF−FK＝，故（4）正确．（5）由(1)可知，，∴，由（2）知△HGD和△HEC不全等，∴，∴，∴即HG⊥HC是错误的，故（5）不正确．故选：B．【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．二、填空题7．（2021—2022江苏省盐城中学九年级月考）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，BC＝4，⊙O的半径为，则AC＝___．【答案】【分析】过点O作OM⊥BC于点M，过点O作ON⊥AC于点N，过点C作CD⊥OB于点D，连接OC，利用勾股定理求出OM的值，结合三角形的面积求出CD的值，进而即可求解．【详解】解：过点O作OM⊥BC于点M，过点O作ON⊥AC于点N，过点C作CD⊥OB于点D，连接OC，∴∠CMO=90°，CM=BC=2，∴OM=，∵，∴×4=CD，即：CD=，∵AC∥OB，ON⊥AC，CD⊥OB，∴四边形CDON是矩形，∴ON=CD=，∵∠CNO=90°，∴，∴AC=2CN=．故答案是：．【点睛】本题主要考查勾股定理、垂径定理，三角形的面积法，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2020—2021浙江九年级期中）如图所示，在内有折线，其中，则的长为__________．【答案】【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．【详解】解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示：∴BE=CE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴OH=4，∵∠HDB=90°，∴∠HOE=30°，∴，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．9．（2021·安徽·中考一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为_____．【答案】4或【分析】分四种情形分别求解即可解决问题．【详解】①当DE=DC时，△CDE是等腰三角形，此时DE=DC=AB=4．②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形．此时CD、CE是⊙O的切线，连接OC交DE于F．∵CD=CE，OD=OE，∴OC垂直平分线段DE，∴DF=EF=，∴．③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形．作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′．在Rt△EFO中，，∴，∴，，综上所述，DE的长为4或或或．故答案为4或或或．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．10．（2021—2022北京市第五中学九年级期中）如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为________________．【答案】【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【详解】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD=CB=AB=×1=，即CD的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出符合题意的点C的位置是解此题的关键．11．（2021·河南省淮滨县九年级期末）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是_______________．【答案】4【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，∵四边形PCED是平行四边形，∴，，∴根据垂径定理在中，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴线段PE的最小值是4．故答案是：4．【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．12．如图，为的直径，，，为上两动点（，不与，重合），且为定长，于，是的中点，则的最大值为___________．【答案】5【分析】当CD∥AB时，EM的值最大，连接OM、CE、OC，利用垂径定理及题意证明四边形OMCE是矩形，即可得到答案．【详解】解：如图，当CD∥AB时，EM的值最大，连接OM、CE、OC，∵DM=CM，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CE⊥AB，∴∠OMC=∠MOB=∠OEC=90°,∴四边形OMCE是矩形，∴EM=OC=5，∴EM的最大值为5，故答案为：5．【点睛】此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，正确掌握垂径定理及应用是解题的关键．13．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中点；故结论（1）正确；（2）过点H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，则．∵，∴．∵四边形ABCD是正方形，，∴．∴四边形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．则．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴与不全等，故结论（2）错误；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H是FK的中点，∴．由勾股定理得．∴；故结论（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题14．（2021—2022湖北宜昌市九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．（2）根据圆内接四边形的性质，先，再证为等腰三角形，进一步证得，从而证得结论．（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．【详解】证明：（1）如图1，连接，，是劣弧的中点，，，，，，，为等腰三角形，，；（2）如图2，延长、相交于点，再连接，是圆内接四边形，，是劣弧的中点，，，为等腰三角形，，，，，（3）．连接，，，、相交于点，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握垂径定理在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．15．（2021—2022江苏昭阳湖九年级月考）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．【答案】（1）；（2）；（3）不变，值为【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则OH=OP=，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2；

（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=，所AB=2ON=2；(3)作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，

∴OA=4，OP=2，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=OP=，

在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=，∴NH===，∵OH⊥MN，

∴HM=HN，

∴MN=2NH=2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM=HN，

∵MP=3，NP=5，

∴MN=8，

∴HM=HN=4，

∴PH=1，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=1，

在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，

∴ON==，

∴AB=2ON=2；（3）的值不发生变化，为定值，作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM=HN，设圆的半径为R，

在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，

在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，

∴OH=PH，

∴PH2+NH2=R2，

∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2

=（NH-PH）2+（NH+PH）2

=2（PH2+NH2）

=2R2．又AB2=4R2，∴==∴的值不发生变化，为定值．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．16．（2020—2021福建福州九年级月考）已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为的线段PQ