27.3 垂径定理（作业）（解析版）

27.3垂径定理（作业）一、单选题1．（2020·上海崇明·初三一模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的()A．M B．P C．Q D．R【答案】C【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2020·上海市静安区实验中学）下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．3．（2018·上海普陀·初三一模）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选D．二、填空题4．（2018·上海静安·初三二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．【答案】120．【解析】连接OC，∵直径AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∵OE=BE，∴OE=，在Rt△OCE中，OE=，∴cos∠COE=，∴∠OEB=60°，∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°.故答案为120.5．（2018·上海浦东新·）已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为_____厘米．【答案】8分析：连接弓形所在圆的圆心及弓形弦的一端，过圆心作弓形弦的垂线，在构建的直角三角形中，可根据圆的半径和弓形的高求出弓形弦的弦心距，进而可根据勾股定理求出弓形的弦长．详解：如图，弓形AB的高CD=2厘米，连接OA，Rt△OAD中，OA=5cm，OD=OC-CD=3cm，根据勾股定理，得AD=4cm，故AB=2AD=8cm．即这个弓形的弦长是8厘米．故答案为8.点睛：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2018·上海嘉定·中考模拟）已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是_____厘米．【答案】10试题解析：如图，过圆心O作OD⊥AB，交弧于C．则CD=1，连接OA．

在直角△AOD中，OA=13，OD=13-CD=12，

则AD==5，

∴AB=2AD=10．

故答案是：10．7．（2019·上海嘉定·初三一模）如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA、OB，那么∠AOB＝_____度．【答案】120【分析】连接AC．证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【详解】解：连接AC．∵AC＝∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，∵AB平分OC，∴AB是线段OC的垂直平分线，∴AO＝AC，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°．故答案为120．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2020·上海市建平中学西校初三月考）如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=____cm．【答案】3或5【分析】分两种情况考虑：①如图所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；②同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．【详解】分两种情况考虑：①如图所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，∴BD=3，根据勾股定理得：AD==4，在Rt△BDO中，OB=，BD=3，根据勾股定理得：OD==1，则AO=AD+OD=4+1=5；②如图所示，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，∴点O在AD上，连接OB，在Rt△ABD中，cosB==，∴BD=5×=3，∴AD==4，在Rt△BOD中，OD==1，∴OA=AD−OD=4−1=3．综上，OA的长为3或5．故答案为3或5．【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理等知识，这道题用到的知识点有解直角三角形，等腰三角形的性质，垂径定理及勾股定理，分类讨论是解题的关键．三、解答题9．（2019·上海市上外民办劲松中学初三二模）如图，已知是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径.【答案】4【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点，则直线为的中垂线，直线过点，在Rt△OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．【详解】作于点，则直线为的中垂线，直线过点，，，，即，.【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.10．（2020·上海崇明·初三一模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，（1）求⊙O的半径；（2）求O到弦BC的距离．【答案】（1）5；（2）.【分析】（1）连结OB，设半径为r，则OE=r－2，运用垂径定理和勾股定理即可求解；（2）利用S△BCO＝BCOF＝OCBE即可求解.【详解】（1）连结OB，设半径为r，则OE=r－2，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，∴BE＝DE＝4，在Rt△OBE中∵OE2+BE2=OB2，∴(r－2)2＋42＝r2，∴r=5；（2）∵r＝5，∴AC＝10，EC＝8∴BC＝4；∵OF⊥BC，∴S△BCO＝BCOF＝OCBE∴4OF＝5×4∴OF＝.【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．11．（2018·上海杨浦·初三三模）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE=6，求EF的长．【答案】(1)圆的半径为4.5；(2)EF=．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．【详解】（1）连接OD，∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，在Rt△ODH中，AH=5，设圆O的半径为r，根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，解得：r=4.5，则圆的半径为4.5；（2）过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.12．（2018·上海中考模拟）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．试题分析：（1）由，得，，结合可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；（2）由垂径定理得B