第三章　函数的概念与性质 A课时学习区（ 一遍过·数学必修第一册RJA）（已核）

第三章函数的概念与性质数学·必修第一册·RJA课时1函数的概念第一节

函数的概念及其表示

知识点1函数的概念答案

【归纳总结】

判断一个对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须是非空数集;(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.2.[2019辽宁本溪高中高一月考]下图中,能表示函数y=f(x)的图象的是(

)知识点1函数的概念答案2.D

【解析】

对于A选项,当x=0时,有两个y值与之对应;对于B选项和C选项,有一个x与两个y对应的情形;对于D选项,每个x都有唯一的y值与之对应.故选D.

知识点2区间的表示答案

4.已知区间(4p-1,2p+1),则p的取值范围为

.

知识点2区间的表示答案4.(-∞,1)

【解析】

由题意,得4p-1<2p+1,所以p<1.

知识点3函数的定义域答案

知识点3函数的定义域答案6.【解析】

(1)由题意,知A={x|x<3},B={x|x<a}.若B⊆A,则a≤3,∴实数a的取值范围是(-∞,3].(2)若A⊆B,则a≥3,∴实数a的取值范围是[3,+∞).

知识点4函数的值及值域知识点4函数的值及值域答案

8.[2019浙江湖州八校联盟高一(上)期中联考]已知函数f(x),g(x),如下表所示,

则g(1)=

;当g(f(x))=2时,x=

.

知识点4函数的值及值域答案8.3

1

【解析】

由表可知,g(1)=3.由表可知,g(2)=2,所以f(x)=2.由表可知,f(1)=2,所以x的值为1.x123f(x)211g(x)3219.设函数f(n)=k(n∈N*),其中k是无理数π的小数点后的第n位数字,π=3.141592653589⋯,则f(f(f(10)))=

.

知识点4函数的值及值域答案9.3

【解析】

依题意,得f(10)=5,f(f(10))=f(5)=9,f(9)=3,所以f(f(f(10)))=3.

知识点4函数的值及值域知识点4函数的值及值域答案

知识点5同一个函数的判断答案11.D

【解析】A,B,C选项中的两个函数的定义域均不同;D中两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数.

知识点5同一个函数的判断答案

13.若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是(

)A.[-4,4] B.[-2,2]C.[-4,-2] D.[2,4]知识点6抽象函数的值及定义域答案

知识点6抽象函数的值及定义域答案

15.[2020山东青岛二中期中考试]若对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=

,f(-1)=

.

知识点6抽象函数的值及定义域答案15.2

0

【解析】

因为对任意x∈R,都有2f(x)-f(-x)=3x+1,所以令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,

①令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,

②由①②,解得f(1)=2,f(-1)=0.16.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x2+1)的定义域;(2)已知函数f(2x-3)的定义域为[1,3),求f(1-3x)的定义域.知识点6抽象函数的值及定义域答案

答案

答案

答案

4.[2020河南安阳一中检测]若函数y=f(x)的定义域M={x|-2≤x≤2},值域N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(

)答案4.B

【解析】

A中图象所表示函数的定义域是{x|-2≤x≤0},不是M;易知B中图象满足题意;C中图象不表示函数关系;D中图象所表示函数的值域不是N={y|0≤y≤2}.故选B.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)=(

)A.2 B.3

C.6

D.9答案5.C

【解析】

根据条件给x,y赋值,得f(2)=f(1)+f(1)+2=6,f(3)=f(2)+f(1)+4=12.又f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.因为f(3-3)=f(3)+f(-3)-18,即0=12+f(-3)-18,所以f(-3)=6.

答案

答案7.[0,1]∪[9,+∞)

【解析】

由题意,得函数y=mx2+(m-3)x+1的值域包含[0,+∞),当m=0时,y=-3x+1∈R⊇[0,+∞),满足题意;当m≠0时,要满足值域包含[0,+∞),需使得m>0,Δ≥0,即0<m≤1或m≥9.综上,可知实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).

答案

答案

答案

答案

【技巧点拨】

本题是有关函数定义域的一道综合题,求解(1)的关键是将问题转化为不等式恒成立问题去解决;求解(2)的关键是由函数的定义域建立关于参数的不等式组.课时2函数的表示法第一节

函数的概念及其表示

知识点1函数的三种表示法答案

2.如图,平面图形中阴影部分的面积S是h(h∈[0,H])的函数,则该函数的图象大致是(

)知识点1函数的三种表示法答案

3.某商场在国庆促销期间,规定商场内所有商品均按标价的80%出售.同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为110(110=400-320+30)元.若顾客购买一件标价为1000元的商品,则所能得到的优惠额为(

)A.130元 B.330元 C.360元 D.200元知识点1函数的三种表示法答案3.B

【解析】

当顾客购买一件标价为1000元的商品时,消费金额为1000×80%=800(元).由表格,可知该顾客还可获得130元的奖券,故所能得到的优惠额为1000-800+130=330(元),故选B.消费金额/元[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)⋯奖券金额/元3060100130⋯

知识点2函数的解析式答案

知识点2函数的解析式答案

知识点2函数的解析式答案

知识点2函数的解析式答案

【归纳总结】

已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法,即令g(x)=t,用t表示出x,然后将x代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x);若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.

知识点3函数图象的应用答案7.【解析】

(1)当x∈[0,2]时,函数图象是直线y=2x+1的一部分,如图1所示,由图可得,其值域为[1,5].知识点3函数图象的应用答案

【名师点睛】

作函数y=f(x)图象的方法:(1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍.(2)若y=f(x)不是所学过的函数,则要按列表、描点、连线三个步骤作出y=f(x)的图象.8.[2019山东青岛二中期末考试]已知函数f(x)=x2-2x+2,利用函数图象解决下列问题:(1)若x1<x2≤1,试比较f(x1)与f(x2)的大小;(2)若f(x)的定义域和值域都是[1,b],试求b的值.知识点3函数图象的应用答案8.【解析】

(1)f(x)=(x-1)2+1,作出函数f(x)的图象,如图所示:由函数f(x)的图象,可知当x1<x2≤1时,f(x1)>f(x2).(2)由函数f(x)的图象,可知当f(x)的定义域是[1,b]时,其值域应为[f(1),f(b)].又f(x)的值域是[1,b],且f(1)=1,所以f(b)=b,即b2-2b+2=b,解得b=1或b=2.又b>1,所以b=2.

答案

答案

3.若b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列四个图象中的一个,则a=

.

答案

答案

5.[2020广西南宁三中期中考试]已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,则满足f(g(x))=g(f(x))的x的值为

.

答案5.2,4

【解析】

当x=1时,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3;当x=2时,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=3;当x=3时,f(g(3))=f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3;当x=4时,f(g(4))=f(2)=3,g(f(4))=g(3)=3.所以满足f(g(x))=g(f(x))的x的值为2,4.x1234f(x)1313g(x)3232

答案

答案(2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,列表如下:(3)此函数的图象如图所示:x12345678t19710053357.某省两个相近城市之间人员来往频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,若该车头每次拖4节车厢,则每天能来回16次(来、回各算作一次),若每次拖7节车厢,则每天能来回10次.(1)若每天来回的次数y是车头每次拖挂车厢节数x(x∈N*)的一次函数,求此一次函数的解析式.(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.答案7.【解析】

(1)由题可设y=kx+b(k≠0).由题意,得16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,所以y=-2x+24,x∈N*.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S,则由(1)知S=xy,所以S=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营的人数为110×72=7920.所以这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.

答案

课时3

分段函数第一节

函数的概念及其表示

知识点分段函数答案1.D

【解析】

当x∈[0,1]时,f(x)=2x2∈[0,2],所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}=[0,2]∪{3}.

知识点分段函数答案

知识点分段函数答案

4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10m3的,按t元/m3收费;用水量超过10m3的,超过部分按2t元/m3收费.某职工某月缴水费16t元,则该职工这个月实际用水量为(

)A.13m3

B.14m3

C.18m3

D.26m3知识点分段函数答案

知识点分段函数答案

知识点分段函数答案6.C

【解析】

依题意,当x<0时,φ(x)=x<0,所以f(φ(x))=x.

知识点分段函数答案7.(-1,1)

(-1,1)

【解析】

分段函数f(x)的定义域为(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1).其值域为(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1).

知识点分段函数答案8.7

【解析】

因为8<10,所以代入f(n)=f(f(n+5)),即f(8)=f(f(13)).因为13>10,所以代入f(n)=n-3,得f(13)=10,故得f(8)=f(10)=10-3=7.

知识点分段函数答案

知识点分段函数答案

知识点分段函数答案

12.甲、乙两车同时沿某公路从A地出发,驶往距离A地300km的B地,甲车先以75km/h的速度行驶,在到达A,B中点C处停留2h后,再以100km/h的速度驶往B地,乙车始终以v(单位:km/h)的速度行驶.(1)将甲车与A地的距离f(t)(单位:km)表示为离开A地的时间t(单位:h)的函数,求出该函数的解析式并画出函数的图象;(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A,B两地),试求乙车行驶速度v的取值范围.知识点分段函数知识点分段函数答案

答案

答案2.A

【解析】

画出函数f(x)的图象如图所示,令f(x)=f(1),得x=-3,1,3,所以当f(x)>f(1)时,必有x∈(-3,1)∪(3,+∞).故选A.3.若关于x的方程x2-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是

.

答案3.(1,5)

【解析】

令f(x)=x2-4|x|+5,作出函数f(x)的图象,如图所示.当1<m<5时,满足条件.4.已知函数f(x)=|x-3|-|x+1|.(1)求f(x)的值域;(2)解不等式f(x)>0;(3)若直线y=a与f(x)的图象无交点,求实数a的取值范围.答案

答案

答案

答案

易错疑难集训（一）集训（一）

易错点1对函数的定义域理解不透彻答案1.B

【解析】

由于函数f(x)的定义域为[0,2],所以0≤2x≤2,即0≤x≤1,所以函数f(2x)的定义域是[0,1].又x-1≠0,即x≠1,所以函数g(x)的定义域为[0,1).故选B.2.若函数f(2x-1)的定义域为[0,2],且函数f(-x2+4x-1)的定义域为[0,m],则实数m的取值范围是

.

易错点1对函数的定义域理解不透彻答案2.[2,4]

【解析】

由函数f(2x-1)的定义域为[0,2],可得f(x)的定义域为[-1,3].由题意可知当x∈[0,m]时,t=-x2+4x-1的值域为[-1,3],结合函数t=-x2+4x-1的图象(图略),可得2≤m≤4.3.周长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示),若矩形底边长为2x,求此框架围成图形的面积y与x的函数解析式y=f(x),并写出它的定义域.易错点1对函数的定义域理解不透彻答案

易错点2换元时忽视中间变量的取值范围答案

易错点3不理解分段函数的意义答案

易错点3不理解分段函数的意义答案

7.[2020浙江嘉兴一中期末考试]如图,在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动(不包括点A,B).设点P经过的路程为x,△APB的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)画出函数y=f(x)的图象.易错点3不理解分段函数的意义答案

易错点3不理解分段函数的意义答案

疑难点1函数问题中的分类讨论1.B

【解析】

由于函数f(x)的定义域为R,则关于x的方程mx2+2mx+3≠0恒成立.当m=0时,不等式3≠0恒成立;当m≠0时,由Δ=4m2-12m<0,解得0<m<3.综上,得实数m的取值范围是[0,3).故选B.答案

疑难点1函数问题中的分类讨论

答案疑难点1函数问题中的分类讨论3.对任意实数x,y,都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求函数f(x)的解析式.疑难点2求抽象函数的解析式3.【解析】

方法一

∵f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y对任意实数x,y都成立,∴令x=y=0,得f(0)=0,再令y=0,得f(x)-2f(0)=x2+3x,∴f(x)=x2+3x.方法二

在已知式子中,令x=0,得f(y)-2f(y)=-y2-3y,∴-f(y)=-y2-3y,∴f(y)=y2+3y.令y=x,得f(x)=x2+3x.答案疑难点2求抽象函数的解析式答案【名师点睛】

此题所用方法为赋值法,至于如何赋值,要根据题目特征来确定,通常可通过赋不同的值达到解题目的.另外由赋值法求出解析式后,应注意函数的定义域.

疑难点2求抽象函数的解析式

答案

疑难点3函数中的新定义问题

答案

疑难点3函数中的新定义问题

答案

疑难点3函数中的新定义问题7.(-∞,1]

【解析】

由题意知x☉(2-x)表示x与2-x两者中的较小者,借助y=x与y=2-x的图象得函数f(x)的图象(实线部分)如图所示,可得f(x)的值域为(-∞,1].答案课时1单调性第二节

函数的基本性质1.[2019河北唐山一中高一(上)月考]下列说法正确的是(

)A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),且x1<x2,满足f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增C.若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增D.若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2知识点1

函数的单调性及单调区间答案1.D

【解析】

根据函数单调性的定义和性质来判断,只有D是正确的,故选D.2.(多选)[2020安徽合肥六中模考]如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)在区间[-5,-3]上单调递增B.函数f(x)在区间[1,4]上单调递增C.函数f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减D.函数f(x)在区间[-5,5]上不具有单调性知识点1

函数的单调性及单调区间答案2.ABCD

【解析】

结合题中图象可知A,B,C,D均正确.【易错点拨】

f(x)在区间D1,D2上都单调递增(减)时,一般说f(x)在D1与(也可用“,”,不用“∪”)D2上单调递增(减).3.[2020河北石家庄二中高一(上)月考]若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是(

)A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)知识点1

函数的单调性及单调区间答案3.D

【解析】

因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2).故选D.4.已知函数f(x)的定义域为(a,b),且对定义域内任意实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则f(x)在(a,b)上(

)A.单调递增

B.单调递减C.先单调递减再单调递增

D.先单调递增再单调递减知识点1

函数的单调性及单调区间答案

知识点1

函数的单调性及单调区间答案

知识点1

函数的单调性及单调区间答案

知识点2利用定义判断或证明函数的单调性答案

知识点2利用定义判断或证明函数的单调性答案

知识点2利用定义判断或证明函数的单调性知识点2利用定义判断或证明函数的单调性答案

8.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上满足:①f(x)单调递增,f(x)>0;②g(x)单调递减,g(x)<0.试判断函数F(x)=f(x)g(x)在[a,b]上的单调性,并给出证明.知识点2利用定义判断或证明函数的单调性知识点2利用定义判断或证明函数的单调性答案8.【解析】

函数F(x)=f(x)g(x)在[a,b]上单调递减.证明如下:设x1,x2是[a,b]上任意两个不相等的实数,且a≤x1<x2≤b,则0<f(x1)<f(x2),g(x2)<g(x1)<0,所以F(x1)-F(x2)=f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)=f(x1)(g(x1)-g(x2))+(f(x1)-f(x2))g(x2).又f(x1)(g(x1)-g(x2))>0,(f(x1)-f(x2))g(x2)>0,所以F(x1)-F(x2)>0,即F(x1)>F(x2),所以函数F(x)=f(x)g(x)在[a,b]上单调递减.

知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围答案

知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围答案

11.已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围答案

12.[2020上海市七宝中学高一期中考试](1)若函数f(x)

是定义在R上的增函数,且f(1-a)<f(2a-1),

求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的增函数,且f(1-a)<f(2a-1),求实数a的取值范围.知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围知识点3利用函数的单调性求参数的值或取值范围答案

1.已知函数f(x)是R上的增函数,对任意实数a,b,若a+b>0,则有(

)A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)答案1.A

【解析】

∵a+b>0,∴a>-b,b>-a,又f(x)是R上的增函数,∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选A.

答案

答案3.D

【解析】

作出函数f(x)的图象(图略),易知函数f(x)在R上为减函数,所以2-a2<a,解得a>1或a<-2,故选D.4.[2020福建厦门一中高一(上)月考]函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在(-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是

.

答案

5.已知函数f(x),g(x)在(a,b)上单调递增,且a<g(x)<b,求证:函数f(g(x))在(a,b)上单调递增.答案5.【证明】

任取x1,x2∈(a,b),且x1<x2,因为g(x)在(a,b)上单调递增,所以g(x1)<g(x2).又f(x)在(a,b)上单调递增,a<g(x1)<g(x2)<b,所以f(g(x1))<f(g(x2)),所以函数f(g(x))在(a,b)上单调递增.

答案

7.[2019山西运城康杰中学高一(上)期中考试]已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,f(x)≠0,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,f(x)>1.(1)判断f(x)在R上的单调性并证明;(2)解不等式f(x)f(x-2)>16.答案

答案

课时2

最大(小)值第二节

函数的基本性质1.已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2知识点1函数的最值答案1.C

【解析】

观察函数图象,知图象最低点的纵坐标为f(-2),最高点的纵坐标为2,故选C.

答案

知识点1函数的最值

答案

知识点1函数的最值4.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)的最小值为-2,则f(x)的最大值为(

)A.1 B.0

C.-1 D.2答案4.A

【解析】

∵f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,∴其最小值为f(0)=a=-2,∴其最大值为f(1)=3+a=1.知识点1函数的最值5.(多选)若函数y=ax+1在x∈[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a

的值是(

)A.2 B.-2 C.1

D.0答案5.AB

【解析】

依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2.故选AB.知识点1函数的最值

答案

知识点1函数的最值

答案7.10

【解析】

F(x)的图象如图所示,由x2+6=-x2+4x+6,得x=0或x=2.当x=2时,F(x)取得最大值,为10.知识点1函数的最值

答案

知识点1函数的最值9.[2019江西新余四中高一(上)月考]已知二次函数f(x)的最小值为1,且满足f(0)=f(4)=9.(1)求f(x)的解析式;(2)设f(x)在区间[m,m+2]上的最小值为g(m),求函数g(m)的表达式.知识点1函数的最值答案

知识点1函数的最值

知识点2利用函数的最值解决不等式恒(能)成立问题答案

知识点2利用函数的最值解决不等式恒(能)成立问题答案

知识点2利用函数的最值解决不等式恒(能)成立问题答案

知识点2利用函数的最值解决不等式恒(能)成立问题答案

知识点2利用函数的最值解决不等式恒(能)成立问题答案

答案1.A

【解析】

由题意,当x>0时,f(x)的最小值为f(1)=2,当x≤0时,f(x)的最小值为f(0)=a.若f(0)是f(x)的最小值,则a≤2.

答案

3.已知二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是(

)A.[160,+∞) B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.(-∞,20]∪[80,+∞)答案

答案

5.[2020湖南长沙雅礼中学高一月考]某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车所得的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大利润为(

)A.90万元

B.60万元C.120万元

D.120.25万元答案

6.[2020安徽安庆一中高一模考]已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是

.

答案6.[1,2]

【解析】

f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.∵f(x)min=2,f(x)max=3,f(1)=2,f(0)=f(2)=3,∴利用图象(图略)可得1≤m≤2.

答案

8.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M,m的值;(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案

课时3奇偶性第二节

函数的基本性质1.(多选)下列说法中正确的是(

)A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B.图象关于y轴对称的函数是偶函数C.奇函数的图象一定过坐标原点D.偶函数的图象一定与y轴相交知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案

知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案

3.[2020江苏淮安期末考试]如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为(

)

A.-2 B.2

C.1

D.0知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案

4.[2020贵州遵义四中高一月考]设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(

)A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案4.A

【解析】

由f(x)是偶函数,可知f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数,可知g(-x)=-g(x),所以f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.故选A.5.已知函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(

)A.(-a,-f(a)) B.(a,f(-a))C.(a,-f(a)) D.(-a,-f(-a))知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案5.B

【解析】

∵f(-x)=|-x3+1|+|-x3-1|=|x3-1|+|x3+1|=f(x),且f(x)的定义域为R,∴f(x)为偶函数.∵点(a,f(a))一定在函数f(x)的图象上,又f(a)=f(-a),∴点(a,f(-a))也一定在函数f(x)的图象上.

知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案

知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案

知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征答案=-f(x);③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).综上,可知函数f(x)为奇函数.【名师点睛】

求解本题的关键有两点:一是判断定义域是否关于原点对称;二是判断f(-x)与f(x)的关系.8.已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(-2)>f(-3)B.f(π)>f(-3)>f(-2)C.f(π)<f(-2)<f(-3)D.f(π)<f(-3)<f(-2)知识点2函数奇偶性的应用答案8.B

【解析】

因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).故选B.9.[2020山东枣庄十六中模考]若奇函数f(x)在区间[3,7]上单调递增,且最小值为5,则f(x)在区间[-7,-3]上(

)A.单调递增且有最大值-5B.单调递增且有最小值-5C.单调递减且有最大值-5D.单调递减且有最小值-5知识点2函数奇偶性的应用答案9.A

【解析】

因为f(x)在区间[3,7]上单调递增,且最小值为5,所以f(3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同,可知f(x)在区间[-7,-3]上单调递增,且有最大值f(-3)=-f(3)=-5.

知识点2函数奇偶性的应用答案

知识点2函数奇偶性的应用答案

知识点2函数奇偶性的应用答案

13.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是

.

知识点2函数奇偶性的应用答案13.0

【解析】

∵偶函数的图象关于y轴对称,∴f(x)的图象与x轴的四个交点也关于y轴对称.若y轴右侧的两个交点的横坐标为x1,x2,则y轴左侧的两个交点的横坐标为-x1,-x2,∴方程f(x)=0的所有实根之和为0.14.[2019河南驻马店高一(上)期中考试]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补充函数f(x)的图象;

(2)求当x>0时,函数f(x)的解析式;(3)若方程f(x)=a恰有3个不同的实数解,求实数a的取值范围.知识点2函数奇偶性的应用知识点2函数奇偶性的应用答案14.【解析】

(1)函数f(x)的图象如下:(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-f(x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,故当x>0时,f(x)=-x2+2x.(3)方程f(x)=a恰有三个不同的实数解,等价于函数y=f(x)与函数y=a的图象恰好有三个不同的交点,由(1)中图象,可得-1<a<1,即实数a的取值范围为(-1,1).15.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.知识点2函数奇偶性的应用答案

知识点2函数奇偶性的应用答案16.【解析】

(i)由f(x)是奇函数,求a的值,过程如下:若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,则f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,又当x>0时,f(x)=-x2+x,所以-f(x)=x2-x.由f(-x)=-f(x),得ax2-x=x2-x,故a=1.知识点2函数奇偶性的应用答案

答案

2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(

)A.f(-1)<f(3)<f(4) B.f(4)<f(3)<f(-1)C.f(3)<f(4)<f(-1) D.f(-1)<f(4)<f(3)答案2.D

【解析】

因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)满足f(x-4)=-f(x),则f(4)=-f(0)=0.又f(x)=-f(-x)且f(x-4)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(1)>f(0),即f(1)>0,所以f(-1)=-f(1)<0,f(3)=f(1)>0,所以f(-1)<f(4)<f(3).

3.[2020河北唐山模考]若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法正确的是(

)A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.g(x)=f(x)+1为奇函数D.g(x)=f(x)+1为偶函数答案3.C

【解析】

∵对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,∴令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,∴g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),∴g(x)=f(x)+1为奇函数.故选C.4.[2020浙江嘉兴一中高一月考]奇函数f(x+2)是定义在(-3,-1)上的减函数,若f(m-1)+f(3-2m)<0,则实数m的取值范围为

.

答案

【名师点睛】

本题是考查抽象函数的奇偶性、单调性及求解不等式的综合问题.求解这类抽象函数问题的关键:其一,利用函数的单调性去掉符号“f”,将不等式化为一般的不等式;其二,利用定义域再建立关于参数的不等式组;其三,结果取交集.5.[2019广东中山一中期中考试]若函数f(x)=(x+a)·(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为

.

答案5.f(x)=-2x2+4

【解析】

因为f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,所以b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2,所以-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0,所以a=0或b=-2.当a=0时,f(x)=bx2,因为f(x)的值域为(-∞,4],而f(x)=bx2的值域不可能为(-∞,4],所以a≠0.当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2],所以2a2=4.所以所求函数f(x)的解析式为f(x)=-2x2+4.

答案

7.[2019重庆江津中学高一(上)段考]已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.(1)证明:f(x)是偶函数;(2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;(3)解不等式f(2x2-1)<2.答案

答案

答案8.【解析】

(1)当x<0时,-x>0,于是f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2,即f(x)=2x+x2(x<0).答案

易错疑难集训（二）集训（二）

易错点1求解与函数的性质有关的问题时,忽视函数的定义域答案

2.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(t-2)<f(1-t),则实数t的取值范围为

.

易错点1求解与函数的性质有关的问题时,忽视函数的定义域答案

易错点1求解与函数的性质有关的问题时,忽视函数的定义域答案

易错点1求解与函数的性质有关的问题时,忽视函数的定义域答案

【练后反思】

定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件,即如果函数的定义域不关于原点对称,则函数不具备奇偶性.函数的单调区间是函数定义域的子集,所以求解函数的单调区间时,必须先求出函数的定义域.

易错点2混淆“单调区间”与“在区间上单调”答案

6.[2020江苏省淮阴中学月考]若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则实数a=

.

易错点2混淆“单调区间”与“在区间上单调”答案

7.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2.(1)若f(x)的单调区间为(-∞,4),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.易错点2混淆“单调区间”与“在区间上单调”答案

易错点2混淆“单调区间”与“在区间上单调”答案【练后反思】

单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.已知函数的单调性,求函数中参数的取值范围有两种方法:一是将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围;二是运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)或方程(组),解不等式(组)或方程(组),进而求解.1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是

.

疑难点1利用奇(偶)函数的图象特征解题1.(-2,0)∪(2,5]

【解析】

由奇函数的性质,知其图象关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图象如图所示,所以f(x)<0的解集为使f(x)的图象在x轴下方的x的取值范围,即(-2,0)∪(2,5].答案

疑难点1利用奇(偶)函数的图象特征解题

答案

疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案4.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=1,若f(x+a)≤1对x∈[-1,1]恒成立,则实数a的取值范围是

.

疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围4.[-1,1]

【解析】

由题意,知f(x+a)≤f(2)对x∈[-1,1]恒成立,即-2≤x+a≤2对x∈[-1,1]恒成立,即-2-x≤a≤2-x对x∈[-1,1]恒成立.当x∈[-1,1]时,(-2-x)max=-2-(-1)=-1,(2-x)min=2-1=1,所以-1≤a≤1,所以实数a的取值范围是[-1,1].答案5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),则实数a的取值范围为

.

疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案6.已知函数f(x)=x2-mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式.(2)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且当x>0时,h(x)=g(x).若h(t)>h(4),求实数t的取值范围.疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案

疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案疑难点2利用函数的性质求参数的取值范围

答案专项

函数性质的综合应用1.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最大值和最小值;(2)若f(x)在区间[-4,6]上单调,求实数a的取值范围;(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.1.【解析】

(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.(2)f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2,∴要使f(x)在[-4,6]上单调,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.∴实数a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).答案

答案【归纳总结】

研究二次函数在闭区间上的最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”.看图求解,事半功倍.求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论是哪种类型,解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

2.【解析】

(1)令x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0+0),得f(0)=0.令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0),即f(x)=-f(-x),故f(x)为奇函数.

(2)设x1,x2∈R,且x2>x1,则x2-x1>0,于是f(x2-x1)<0.又f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),所以f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)在R上是减函数.

(3)由(2),知函数f(x)在[-3,6]上的最大值为f(-3),最小值为f(6).f(-3)=-f(3)=-(f(2)+f(1))=-3f(1)=2,f(6)=-f(-6)=-(f(-3)+f(-3))=-2f(-3)=-4,所以f(x)在[-3,6]上的最大值为2,最小值为-4.

答案3.[2020江苏南通如皋中学高一(上)期末考试]已知函数f(x)=x|x-m|+m2.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数m的值;(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为7,求实数m的值.

答案

答案

答案第三节

幂函数

知识点1幂函数的概念答案

知识点1幂函数的概念答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

7.若α∈R,函数f(x)=(x-1)α+3的图象恒过定点P,则点P的坐标为

.

知识点2幂函数的图象及性质答案7.(2,4)

【解析】

令x-1=1,得x=2,∴f(2)=1α+3=4,∴f(x)=(x-1)α+3的图象恒过定点(2,4),即点P的坐标为(2,4).

知识点2幂函数的图象及性质答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

知识点2幂函数的图象及性质答案

答案

答案

3.给出下面四个条件:①f(m+n)=f(m)+f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n);③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)=f(m)+f(n).如果m,n是幂函数y=f(x)定义域内的任意两个值,那么幂函数y=f(x)一定满足的条件的序号为

.

答案3.③

【解析】

设f(x)=xα,则f(m+n)=(m+n)α,f(m)+f(n)=mα+nα,f(m)·f(n)=mα·nα=(mn)α,f(mn)=(mn)α,所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立,其他三个不一定成立,故填③.

答案4.1或3

【解析】

由已知,可得b=f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=5.由于y=xa-b在(0,+∞)上单调递减,所以a-5<0,解得a<5,因为a为自然数,所以a=0,1,2,3,4.又函数y=xa-b为偶函数,所以a=1或3.

答案

答案

答案

答案

第四节

函数的应用(一)

知识点1已知函数模型的应用问题答案1.B

【解析】

令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故该公司拟录用25人.2.已知从甲地到乙地通话mmin的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)确定,其中m>0,[m]表示大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4).若从甲地到乙地某次通话时间为5.5min,则电话费为(

)A.3.71元

B.3.97元C.4.24元

D.4.77元知识点1已知函数模型的应用问题答案2.C

【解析】

由题设,知f(5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24,故选C.

知识点1已知函数模型的应用问题知识点1已知函数模型的应用问题答案3.【解析】

(1)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100单调递增,当20<t≤40时,f(t)=-7t+380单调递减,且f(10)=f(20)=240,所以讲课开始10min,学生的注意力最集中,能持续10min.(2)因为f(5)=195,f(25)=205,195<205,所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注意力更集中.(3)当0<t≤10时,令