2019届高考理科数学专题-对数与对数函数

第五讲对数与对数函数【理科数学】第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ考情精解读A考点帮∙知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1对数与对数运算考点2对数函数的图象与性质考法1对数式的运算考法2对数函数的图象及应用考法3对数函数的性质及应用考法4指数函数、对数函数的综合问题B考法帮∙题型全突破理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).考纲要求命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.对数与对数运算2017全国Ⅰ,T11指数与对数的混合运算,比较大小(考法1,4)2016全国Ⅰ,T8指数式、对数式比较大小(考法3,4)2.对数函数的图象与性质2015湖南,T5判断对数型函数的奇偶性和单调性(考法3)2013全国Ⅱ,T8对数的基本运算,对数函数的图象,比较大小(考法1,2)1.分析预测本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,难度中等.2.学科素养本讲主要考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算能力.命题分析预测A考点帮∙知识全通关考点1对数与对数运算考点2对数函数的图象与性质理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.由此可得对数式与指数式的互化:ax=N⇔logaN=x(a>0,且a≠1).考点1对数与对数运算说明

几种常见的对数

对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质、运算法则及重要公式理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ性质运算法则重要公式说明(1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ1.对数函数的概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).考点2对数函数的图象与性质（重点）理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象过定点(1,0),即恒有loga1=0.当x>1时,恒有y>0;当0<x<1时,恒有y<0.当x>1时,恒有y<0;当0<x<1时,恒有y>0.在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.对数函数的图象和性质理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

注意

当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ4.对数函数与指数函数的关系指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称(如图所示).

理科数学第二章:函数概念与基本初等函数ⅠB考法帮∙题型全突破考法1对数式的运算考法2对数函数的图象及应用考法3对数函数的性质及应用考法4指数函数、对数函数的综合问题理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ考法1对数式的运算考法指导对数运算的求解思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.(3)利用式子lg2+lg5=1进行化简.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

思路分析理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ化为2与5的常用对数利用lg2+lg5=1化简求值化为2与3的常用对数开方后整理求值(1)(2)(3)用换底公式化为常用对数整理求值理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

突破攻略理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ在解决对数的化简与求值问题时,要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式,同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

考法2对数函数的图象及应用考法指导:

对数型函数图象的考查题型及解题思路1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.3.与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决,即数形结合法.应用时要准确地画出图象,把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系问题.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ示例2

函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ思路分析理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

解析

当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.答案

A理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

思路分析

将不等式恒成立转化为判断两个函数图象在同一平面直角坐标系中的位置关系来求解.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ解析

设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在区间(1,2)上的图象在f2(x)=logax的图象的下方即可.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图所示,要使在区间(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,所以loga2≥1,即1<a≤2.

答案

C拓展变式2函数y=2log4(1-x)的图象大致是()理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ答案

C

解析

函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.选C.考法3对数函数的性质及应用考法指导1.比较对数值大小的类型及相应方法理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ2.解决对数型复合函数的单调性问题的步骤(1)求出函数的定义域;(2)判断对数函数的底数与1的大小关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论;(3)判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.注意

研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,否则所得范围易出错.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ示例5

已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是

.

思路分析对底数a按a>1和0<a<1进行讨论,分别求出f(x)=loga(ax2-x)在[3,4]上单调递增时a的取值范围,然后取并集即可.理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

突破攻略理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ

对数型复合函数的单调性问题的求解策略

1.对于y=loga

f(x)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数y=loga

f(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.

2.研究y=f(logax)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.

理科数学第二章:函数概念与基本初等函数Ⅰ考法4指数函数、对数函数的综合问题考法指导1.指数、对数函数关系(反函数)的应用利用互为反函数的两个函数的性质转化问题求解.常用性质有:(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.(3)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数的图象上;反之也成立.2.与指数、对数函数有关的恒成立问题(1)与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≥g(x)恒成立⇔f(x)-g(x)≥0恒成立⇔[f(x)-g(x)]min≥0,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值即可.当0<a<1时,af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≤g(x)恒成立⇔f(x)-g(x)≤0恒成立⇔[f(x)-g(x)]max≤0,进一步求得相应函数的最大值即可.(2)与对数型函数有关的