2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线（附答案）

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线（附答案）

1.如图，AABC中，AB=4,AC=3,AD,AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG，

AC于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为（）

17

A.—B.IC.—D.7

22

2.如图，点A,B为定点，定直线/〃AB,P是/上一动点，点M,N分别为南，P8的中

点，对下列各值：

①线段MN的长；②△弘8的周长；③△PMN的面积;

④直线MN,AB之间的距离；⑤N4PB的大小.

其中会随点P的移动而变化的是（）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

3.如图，四边形ABC。中，ZA=90°,AB=3^,A£>=3,点M,N分别为线段BC,

A8上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,尸分别为DM,MN的中点，则

E尸长度的最大值为（）

A.3B.4C.4.5D.5

4.如图，在矩形ABC。中，P、R分别是BC和。C上的点，E、F分别是AP和RP的中点,

当点P在8c上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

A.线段E尸的长逐渐增长B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

5.如图，△ABC的周长为19,点£>,E在边8c上，/A8C的平分线垂直于AE,垂足为M

NACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）

A.3B.2C.—D.3

22

6.如图，△A8C的面积是12,点。、E、F、G分别是BC、AD,BE、CE的中点，则△AFG

的面积是（）

A

BD

A.4.5B.5C.5.5D.6

7.如图，△ABC中，已知A8=8,ZC=90°,NA=30°,OE是中位线，则。E的长为

()

A.4B.3C.273D.2

8.如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，于点M,ANLCE于氤N./\ABC

的周长为30,8c=12.则MN的长是（）

A.15B.9C.6D.3

9.如图，在四边形ABCC中，已知A8=C。，M、N、P分别是A。、BC、8。的中点NA8O

=20°，ZBDC=70°，则NNMP的度数为（）

A.50°B.25°C.15°D.20°

10.如图，在△ABC中，延长BC至£>,使得8=工8。，过AC中点E作EF〃C£>（点尸

2

位于点E右侧），且EF=2CD,连接DF.若A8=8,则。尸的长为（）

B.4C.273D.3A/2

11.如图，CE是△ABC的中位线，过点C作C/〃BO交3E的延长线于点F,则下列结论

正确的是（）

A.EF=CFB.EF=DEC.CF<BDD.EF>DE

12.如图，在RtZLABC中，ZB=90°,AB=6,8c=8,点。在BC上，以AC为对角线

的所有平行四边形AOCE中，OE的最小值是（）

B.8C.6D.5

13.如图，。是△A3C内一点，BDLCD,AO=6,80=4,CD=3,E、F、G、”分别是

AB、AC、CD、8。的中点，则四边形EEG〃的周长是（）

A.7B.9C.10D.11

14.如图，M是△ABC的边5C的中点，AN平分N84C,BN上AN于点N,且45=10,BC

=15,MN=3,则AC的长是（）

A.12B.14C.16D.18

15.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点，如果△AQE的周长是6,则△ABC

的周长是（）

A.6B.12C.18D.24

16.如图，NM4N=90°，点C在边AM上，AC=4,点5为边AN上一动点，连接5C,

△A'8c与△ABC关于8C所在直线对称，点。，E分别为AC,BC的中点，连接。£

并延长交A'B所在直线于点F,连接A'E.当AA'EF为直角三角形时，AB的长

17.如图，正方形ABCO和正方形EFCG的边长分别为3和1,点尸，G分别在边BC,CD

上，P为AE的中点，连接PG,则PG的长为.

18.如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°，点D,E,尸分别为A8,AC,BC的中点.若

CD=5,则EF的长为.

19.如图，已知A8=10,P是线段AB上的动点，分别以4P、P8为边在线段48的同侧作

等边△ACP和△尸。8,连接C。，设C£）的中点为G,当点P从点A运动到点B时，则

点G移动路径的长是.

20.如图，NACB=90°,。为AB中点，连接QC并延长到点E,使CE=』C£>,过点8

4

作8斤〃。E交4E的延长线于点尸.若8尸=10,则AB的长为.

£

21.如图，QE为△ABC的中位线，点F在OE上，且NAFB=90°,若AB=6,BC=8,

则EF的长为.

22.如图所示，QE为△ABC的中位线，点F在QE上，且NAFB=90°,若AB=5,BC=

8,则EF的长为.

23.如图，AABC的周长为26,点。，E都在边8c上，NA8C的平分线垂直于AE,垂足

为。，NACB的平分线垂直于AO,垂足为P,若8c=10,则尸。的长.

24.在四边形A8CO中，对角线AC_LBC且AC=6、BD=8,E、尸分别是边A8、CO的中

点，则EF=

D

25.如图，在△ABC中，NACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点Q,

使CD=LBD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=.

3

26.如图，在四边形ABQC中，E、F、G、”分别为AB、BC、CD、D4的中点，并且E、

F、G、H四点不共线.当AC=6,20=8时，四边形EFG/Z的周长是.

27.如图，在RtaABC中，NACB=90°,BC=3,AC=4,点M为边AC的中点，点N

为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在AABC的中位线上，

则CN的长为.

28.如图，在四边形48C。中，P是对角线8。的中点，E、F分别是48、CO的中点，AD

=BC,/FPE=100°,则NPFE的度数是.

29.如图，等边AABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F,使CF

=LfiC,连接CD和

2

(1)求证：DE=CF；

(2)求EF的长.

30.如图，在△ABC中，点。，E,尸分别是AB,BC,CA的中点，AH是边BC上的高.

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)求证：NDHF=NDEF.

31.如图，在四边形4BCD中，/A8C=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,

连接8M,MN,BN.

(1)求证：BM=MN；

(2)NBA3=60°,AC平分NBA。，AC=2,求BN的长.

32.如图，△ABC中，A。是中线，AE是角平分线，CF_LAE于F,AB=10,AC=6,求

QF的长.

33.如图，在四边形A8CQ中，AC±BD,80=12,AC=16,E,F分别为AB,CZ)的中点,

求EF的长.

34.在△4BC中，E是4c边上一点，线段BE垂直/54C的平分线于。点，点M为BC1边

的中点，连接。例.

(1)求证：

2

(2)若A£>=6,80=8,DM=2,求AC的长.

35.如图，在四边形ABC。中，AB=DC,E、尸分别是A。、8C的中点，G、，分别是对角

线BD、AC的中点.

(1)求证：四边形EGFH是菱形;

(2)若AB=a,则当/ABC+/£)CB=90°时，求四边形EGFH的面积.

4

36.如图，E、尸、G、”分别为四边形ABCD四边之中点.

(1)求证：四边形EFGH为平行四边形;

(2)当AC、8。满足时，四边形EFG”为菱形.当4C、8。满足时,

四边形EFG”为矩形.当AC、满足时，四边形EFGH为正方形.

37.如图，在△ABC中，AE平分NBAC,BE_LAE于点E,点尸是BC的中点.

图2

(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点O,求证：EF=Z(AC-AB)；

2

(2)如图2,写出线段A&AC、EF的数量关系，并证明你的结论.

38.己知：△ABC中，AB=\O.

(1)如图①，若点£＞、E分别是AC、BC边的中点，求。£的长；

(2)如图②，若点Ai，上把AC边三等分，过4,出作AB边的平行线，分别交BC

边于点当,&,求A1B1+A2&的值;

(3)如图③，若点Ai，A2,…，Aio把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分

别交BC边于点8],Bz，-B10.根据你所发现的规律,直接写出A1B1+A2&+…+4()810

的结果.

图①图②图③

参考答案

1.解：是△ABC角平分线，CG_LA£＞于R

...△AGC是等腰三角形，

：.AG=AC=3,GF=CF,

；AB=4,AC=3,

：.BG=\,

是△ABC中线，

：.BE=CE,

为aCBG的中位线，

：.EF=^BG=—,

22

故选：A.

2.解：•.•点A,B为定点,点M,N分别为B4,PB的中点，

是△必B的中位线，

：.MN=^AB,

2

即线段MN的长度不变，故①错误；

PA.尸8的长度随点尸的移动而变化，

所以，△办8的周长会随点尸的移动而变化，故②正确；

■:MN的长度不变，点P到MN的距离等于I与AB的距离的一半,

...△PMN的面积不变，故③错误；

直线MMA8之间的距离不随点尸的移动而变化，故④错误;

ZAPB的大小点P的移动而变化，故⑤正确.

综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤.

故选：B.

3.解：如图，连结。N,

；DE=EM,FN=FM,

:.EF=』DN,

2

当点N与点B重合时，QN的值最大即EF最大，

在Rt/LAB。中，VZA=90°,AD=3,AB=3«,

••加气/+/气32+（如产6,

：.EF的最大值=28。=3.

2

故选A.

4.解：连接AR,

.矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变,

和OR不变，

..,由勾股定理得：AR=J虹|2+DR2.

：.AR的长不变,

,:E、尸分别为AP、RP的中点,

：.EF=—AR,

2

即线段E尸的长始终不变，

故选：C.

5.解：:BN平分NA8C,BNVAE,

ANBA=NNBE,ABNA=NBNE,

在△BM4和△BNE中，

，ZABN=ZEBN

•BN=BN

ZANB=ZENB

：.BA^BE,

...△BAE是等腰三角形，

同理△CA。是等腰三角形，

...点N是AE中点，点M是4。中点（三线合一）,

MN是的中位线，

\'BE+CD=AB+AC^\9-BC=19-7=12,

：.DE=BE+CD-BC=5,

15

:.MN=±DE=3.

22

故选：c.

6.解：•.•点。，E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点，

：.AD是△ABC的中线,BE是AAB。的中线,CE是△ACO的中线,A尸是△ABE的中线,

AG是△4（；£；的中线，

/.ZXAE尸的面积=LxaABE的面积=2XZ\AB/）的面积=2XaA8C的面积=3,

2482

同理可得AAEG的面积=3,

2

/XBCE的面积=LxZVIBC的面积=6,

2

又FG是△BCE的中位线，

...△EFG的面积=LxZ\BCE的面积=旦，

42

.♦.△49G的面积是3x3=9,

22

故选：A.

7.解：VZC=90°,ZA=30°,

：.BC=—AB=4,

2

又是中位线，

.•.£）E=2BC=2.

2

故选：D.

8.证明：:△ABC的周长为30,8c=12.

：.AB+AC=30-BC=\S.

延长AMAM分别交8C于点尺G.如图所示：

为N4BC的角平分线,

：.ZCBM=ZABM,

,CBMYAG,

：.ZABM+ZBAM=90°,ZG+ZCBM=90°,

：.ZBAM=ZAGB,

：.AB=BG,

：.AN=GN,

同理4C=CF,AM=MF,

:.MN为AAFG的中位线，GF=BG+CF-BC,

:.MN=L(AB+AC-BC)=工(18-12)=3.

22

故选：D.

9.解：I•在四边形ABC。中，M、N、P分别是A。、BC、BO的中点,

：.PN,PM分别是△COB与△D4B的中位线，

：.PM=—AB,PN^—DC,PM//AB,PN//DC,

22

'：AB=CD,

:.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

'：PM//AB,PN//DC,

：.ZMPD=ZABD=20°,NBPN=NBDC=1O°，

：.NMPN=NMPD+NNPD=20°+(180-70)=130°

AZPMN=^~—=25°.

2

故选：B.

10.解：取BC的中点G,连接EG,

是4c的中点,

...EG是的中位线,

：.EG=-AB=^-X2=4,

22

设CD=x,则EF=BC=2x,

***BG=CG=Xt

：.EF=2x=DG,

9JEF//CD,

四边形EGDF是平行四边形,

：.DF=EG=4,

故选：B.

II.解：是△ABC的中位线,

...E为AC中点,

：.AE=EC,

'.,CF//BD,

：.ZADE=NF,

在和△CFE中，

，ZADE=ZF

v<ZAED=ZCEF,

AE=CE

:.XADaXCFE(4AS),

：.DE=FE.

故选:B.

12.解：平行四边形4DCE的对角线的交点是AC的中点O,当ODJ_BC时，0。最小，即

DE最小.

VODYBC,BCLAB,

：.OD//AB,

又：OC=OA,

：.CD=DB,

：.。。是△ABC的中位线，

0D=—AB^3,

2

:.DE=2OD=6.

故选：C.

E

及

13.解：'：BDVDC,BD=4,CD=3,由勾股定理得：死=加2+⑪2=5,

尸、G、H分别是AB、AC.CD、8。的中点，

：.HG=—BC=EF,EH=FG=LAD,

22

：A£>=6,

:.EF=HG=2.5,EH=GF=3,

四边形EFG”的周长是EF+FG+"G+E〃=2X(2.5+3)=11.

故选：D.

14.解：延长线段BN交AC于E.

平分/BAG

:.NBAN=NEAN,

在△ABN与△AEN中，

"ZBAN=ZEAN

•••<AN=AN,

ZANB=ZANE=90°

.'.△ABN会/\AEN(ASA),

：.AE=AB=]O,BN=NE,

又：M是AABC的边BC的中点，

；.CE=2MN=2X3=6,

・・・AC=AE+CE=10+6=16.

故选：C.

15.解：:。、E分别是AB、AC的中点，

.•.A£)=」AB,AE=」AC,DE=^BC,

222

.♦.△ABC的周长=48+AC+BC=2AO+2AE+2OE=2(AD+AE+DE)=2X6=12.

故选:B.

16.解：当EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NA'E尸=90°时，如图1,

「△A'BC与△ABC关于8c所在直线对称，

：.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

•.•点O,E分别为AC,BC的中点，

：.D.E是AABC的中位线，

J.DE//AB,

；.NCDE=/MAN=90°,

NCDE=ZA'EF,

：.AC//A,E,

：.NAC8=NA'EC,

ZA'CB=ZA'EC,

：.A'C=A'E=4

Rtz\4C3中，・・・E是斜边3c的中点，

・・・BC=2A'E=8,

121

由勾股定理得：AB=BC-AC1

；・AB=q82_42=4退;

②当/4万石=90°时，如图2,

VZADF=ZA=ZDFB=90°,

，NAB尸=90°,

VAAZ8C与△ABC关于6c所在直线对称,

AZABC=ZCBA,=45°,

•••△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC=4；

综上所述，A8的长为4立或4；

故答案为：4，§或4；

rL------7^4'

D

B

图2

17.解：方法1、延长GE交AB于点。，作P/7L0E于点儿

贝ijPH//AB.

是4E的中点，

是△AOE的中位线，

；.PH=4A=2(3-1)=1.

22

:直角AAOE中，ZOAE=45°,

.♦.△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2,

同理中，HE=PH=\.

：.HG=HE+EG=\+l=2.

==

.,.在RtAPHG中，PGp2=12+225/5,

故答案是：Vs-

方法2、如图1,

延长D4,GP相交于H,

•••四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，

.,.EG//BC//AD,

：.ZH=ZPGE,ZHAP=ZGEP,

•点P是AE的中点，

：.AP=EP,

：.四△EGP,

：.AH=EG=\,PG=PH=—HG,

2

：.DH=AD+AH=4,DG=CD-CG=2,

根据勾股定理得，WG=^DH2+DG2=275,

:.PG=®

故答案为加.

18.解：•.'△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线,

.•.CO=2AB,

2

又,:EF是的中位线，

.•.AB=2C£)=2X5=10C7〃，

.•.EF=上义10=5。".

2

故答案为：5.

19.解：如图，分别延长AC、8。交于点H,过G作MN〃A8,分别交A”于M,BH于N,

「△APC和△BP。是等边三角形，

.•.NA=NB=60°,

/\AHB是等边三角形，

；NA=/OPB=60°,

J.AH//PD,

'：ZB=ZCPA=60°,

J.BH//PC,

：.四边形CPDH为平行四边形，

.♦.CD与HP互相平分.

为C£＞的中点，

...G正好为尸”中点，

是等边三角形，

二在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为的中位线MN.

：.MN=—AB=5,即G的移动路径长为5.

2

故答案为：5.

H

20.解：：点。是4?的中点，BF//DE,

...OE是AAB尸的中位线.

VBF=10,

：.DE=—BF=5.

2

VCE=—CD,

4

.•.且cn=5,解得C£)=4.

4

'.•△ABC是直角三角形，

：.AB=2CD=S.

故答案为：8.

21.解：：£)£■为aABC的中位线，NAFB=90°,

：.DE=—BC,DF=—AB,

22

VAB=6,BC=8,

.,.£>£=AX8=4,OF=』X6=3,

22

：.EF=DE-DF=4-3=

故答案为：1.

22.解：'为△ABC的中位线，：.AD=BD,

,：ZAFB=90Q,

：.DF=^AB=2.5,

2

■为△ABC的中位线，

：.DE=—BC=4,

2

:.EF=DE-DF=1.5,

故答案为：1.5.

23.解：2△ABC的周长是26,2c=10,

：.AB+AC=26-10=16,

VZABC的平分线垂直于AE,

.•.在△AB。和△EB。中，

<ZABQ=ZEBQ

<BQ=BQ,

ZAQB=ZE0B

・・・△ABQ"AEBQ,

：.AQ=EQfAB=BE,

同理，AP=DP,AC=CD,

：.DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=\6-10=6,

\'AQ=DP,AP=DP,

・・・P。是△4£>七的中位线，

.•.P0=_1_OE=3.

故答案是：3.

24.解：如图，取8c的中点G,连接EG、FG,

,:E、尸分别是边48、CD的中点，

EG//ACS.EG=」AC=」X6=3,

22

FG〃8。且尸6=工8。=工X8=4,

22

'：ACVBD,

：.EG-LFG,

A£F=VEG2+FG2=V32+42=5-

故答案为：5.

25.解：连接CM,

N分别是AB、AC的中点，

.\NM=—CB,MN//BC,又CD=、BD,

23

：.MN=CD,又MN〃BC,

...四边形DCMN是平行四边形，

：.DN=CM,

；NACB=90°,例是4B的中点,

.•.CM=2AB=3,

2

：.DN=3,

故答案为：3.

26.解：；尸，G分别为BC,C£＞的中点，

:.FG=LBD=4,FG//BD,

2

,:E,H分别为AB,D4的中点，

：.EH=LBD=4,EH//BD,

2

：.FG//EH,FG=EH,

：.四边形EFGH为平行四边形，

：.EF=GH=—AC=3,

2

：.四边形EFGH的周长=3+3+4+4=14,

故答案为：14

27.解：取8C、AB的中点H、G,连接MH、HG、MG.

如图1中，当点C'落在上时，设NC=NC'=x,

B

由题意可知：MC=MC'=2,知，=旦，HC=」HN=^--x,

222

在RtAHNC'中，"：HN2=HC2+NC2

：.(2-X)2=/+(1)2,

22

解得x=2.

3

如图2中，当点C'落在GH上时，设NC=NC'=x,

,:△HNC's丛GCM,

.NCZ_HCZ

GM

•••A一-8----2--市----

3

如图3中，当点C落在直线GM上时:易证四边形MCNC'是正方形，可得CN=CM=2.

此时点C'在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃.

综上所述，满足条件的线段CN的长为2或*-2

33

故答案为为2或殳2巨.

33

28.解：是对角线8。的中点，E是42的中点,

：.EP=^AD,

2

同理，FP=LBC,

2

'：AD=BC,

：.PE=PF,

VZFP£=100°,

：.ZPFE=4O0,

故答案为：40°.

29.(1)证明：；£)、E分别为AB、AC的中点,

；.£)£■为△ABC的中位线,

：.DE=^BC,

2

;延长8c至点F,使CF=」BC,

2

:.DE=FC；

(2)解：,：DE=FC,

二四边形DEFC是平行四边形，

：.DC=EF,

'：。为A8的中点，等边AABC的边长是2,

：.AD=BD=1,CDLAB,BC=2,

:.DC=EF=43-

30.证明：(1),:点、D,E,尸分别是AB,BC,CA的中点,

：.DE.EF都是△ABC的中位线，

：.EF//AB,DE//AC,

：.四边形ADEF是平行四边形；

(2):四边形AOE尸是平行四边形，

：.ZDEF=ZBAC,

VD,F分别是AB,C4的中点，A”是边BC上的高，

：.DH=AD,FH=AF,

；.NDAH=NDHA,NFAH=NFHA,

NDAH+ZFAH=ABAC,

ZDHA+ZFHA=ZDHF,

：.ZDHF=ZBAC,

：.4DHF=ZDEF.

31.(1)证明：在△CAO中，N分别是AC、CO的中点,

:.MN〃AD,MN=LD,

2

在R77\ABC中，是AC中点，

：.BM=^AC,

2

\'AC=AD,

：.MN=BM.

(2)解：,：ZBAD=60a,4c平分NBA。，

.•.NBAC=/a4C=30°,

由(1)可知，BM=—AC=AM=MC,

2

AZBMC=ZBAM+ZABM=2ZBAM=^f>0°,

'.,MN//AD,

.../NMC=ND4C=30°,

，ZBMN=ZBMC+ZNMC=90°,

由(1)可知MN=8M=」AC=1,

2

：.BN=y]2

32.解：延长C尸交AB于点G,

平分NBAC,

：.ZGAF=ZCAF,

；.AF垂直平分CG,

：.AC=AG,

GF=CF,

又：点。是BC中点，

产是aCBG的中位线，

：.DF=—BG^—(AB-AG)(AB-AC)=2.

222

33.解：如图，取BC边的中点G,连接EG、FG.

■:E,尸分别为AB,CO的中点，

：.EG是△ABC的中位线，FG是ABCD的中位线，

：.EG=^AC,FG=^BD.

22

又BD=12,AC=16,AC1BD,

；.EG=8,FG=6,EGLFG,

•••在直角AEGF中，由用勾股定理，得

EF—gQ2+pQ2—yjg2+g2=10,即EF的长度是10.

A

D

E,

B匕G(7

34.(1)证明：在△ADB和△?!£)£：中，

fZBAD=ZEAD

<AD=AD,

ZADB=ZADE=90°

A/\ADB^/\ADE(ASA)

：.AE=AB,BD