2025届湖北省天门市、仙桃市、潜江市数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

2025届湖北省天门市、仙桃市、潜江市数学高二上期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.2．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知命题p：∀x＞2，x2＞2x，命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，则下列命题是真命题的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q4．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）A. B.2C. D.35．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．在等比数列中，，，则（）A.2 B.4C.6 D.87．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（）A.12 B.13C.14 D.158．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（）A. B.C. D.9．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．命题“对任何实数，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得11．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.12．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____14．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.15．已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.16．直线的倾斜角为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为（1）求双曲线C的方程；（2）直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围18．（12分）已知数列，，其中，是各项均为正数的等比数列，满足，，且（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19．（12分）两个顶点、的坐标分别是、，边、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹记为.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若过点作直线与轨迹相交于、两点，点恰为弦中点，求直线的方程；（3）已知点为轨迹的下顶点，若动点在轨迹上，求的最大值.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.21．（12分）已知，2，4，6中的三个数为等差数列的前三项，且100不在数列中，102在数列中.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E是线段PA的中点.（1）求证：平面EBD；（2）若是等边三角形，，平面平面ABCD，求点E到平面PDB的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.2、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.3、B【解析】取x＝4，得出命题p是假命题，由对数的运算得出命题q是假命题，再判断选项.【详解】命题p：∀x＞2，x2＞2x，是假命题，例如取x＝4，则42＝24；命题q：∃x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命题，∵∀x∈R，ln（x2+1）≥0.则下列命题是真命题的是.故选：B.4、D【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为联立可得，其，设坐标为，显然，则，，根据抛物线定义，MF=故=4+4令，故4+4当且仅当，即时取得最小值.故选：D.【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.5、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A6、D【解析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解【详解】设公比为，则由，得，即故，解得故选：D7、D【解析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线，可得，即，为圆心为，半径为7半圆，又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，由，得，设，则，，∴.故选：D.8、C【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，则，解得所以第二天织布的尺数为.故选：C9、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.10、B【解析】可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.【详解】命题“对任何实数，都有”，可写成：，使得，此命题为全称命题，故其否定形式为：，使得.故选：B.11、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.12、D【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π故答案为2π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14、##【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.故答案为：15、##【解析】根据线面平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：16、【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出【详解】设直线的倾斜角为由直线化为，故，又，故，故答案为【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解.【小问1详解】解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，所以点在双曲线上，由题意，得，解得，，，即双曲线的标准方程为.【小问2详解】解：联立，得，因为直线与该双曲线C交于不同的两点，所以且，即且，设，，的中点，则，，因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，所以，即，因为，，所以，即，将代入，得，解得或，即m的取值范围为或.18、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列，的通项公式；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小问2详解】，所以，，所以.所以19、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出边、所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；（3）先表示出，然后利用椭圆的性质，进而确定的最大值.【小问1详解】设点，则由可得：化简得：故顶点的轨迹的方程：【小问2详解】当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为联立方程组消去可得：设直线与轨迹的交点，的坐标分别为由韦达定理得：点为、两点的中点，可得：，即则有：解得：故求直线的方程为：【小问3详解】由（1）可知，设则有：又点满足，即由椭圆的性质得：所以当时，20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.【小问1详解】证明：设，因为是等边三角形，且，所以是的中点，则.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：因为，所以.在中，，所以，则又平面，所以.如图，连接，则，所以.设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.21、（1）（2）【解析】（1）确定数列为递增数列，然后由4个数确定等差数列，得通项公式，验证100和102是否为数列中的项得结论；（2）由裂项相消法求和【小问1详解】首先数列是递增数列，当2，4，6为的前三项时，易知此时，100，102都是该数列中的项，不满足题意当，2，6为的前三项时，易知此时，100不是该数列中的项，102是该数列