石家庄第二中学2025届高二上数学期末监测模拟试题含解析

石家庄第二中学2025届高二上数学期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.2．下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.3．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种C.240种 D.480种4．设命题，，则为（）.A.， B.，C.， D.，5．已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B.C. D.6．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（）A. B.C. D.7．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.8．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.729．曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等10．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（）A. B.C. D.11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.5612．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A.虚轴长为4 B.焦距为C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，点在轴上，且，则点的坐标为____________.14．已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是___________.15．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______16．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值18．（12分）已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.19．（12分）已知，其中.（1）若,求在处的切线方程；（2）若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值；（3）讨论函数的单调性.20．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积21．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.22．（10分）已知数列的前n项和为，，，其中.（1）记，求证：是等比数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D2、B【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解【详解】选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，错误；选项D，，错误故选：B3、C【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.4、B【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题，，所以为，.故选：B.5、C【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C6、A【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.【详解】，直线的斜率为，由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，所以所求直线方程为.故选：A7、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.8、C【解析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【详解】解：等差数列中，所以等差数列的前6项之和为：故选：C.9、D【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D10、C【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；【详解】故选：C11、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B12、D【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P的坐标为(0,0,3).14、①②【解析】假设与都不相交得到，得到①正确，若不垂直，上取一点，作交于，得到，得到②正确，得到答案.【详解】若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，①正确；若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正确.故答案为：①②.15、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：16、【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为18、（1）（2）【解析】（1）由离心率可得双曲线的渐近线方程；（2）设，则的中点为，由，可得，然后的方程与双曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得答案.【小问1详解】设，则，又，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.【小问2详解】由已知直线的倾斜角不是直角，，设，则的中点为，，由，可知，所以，即，因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，由消去y，得，所以，，所以，因为，所以，即.19、（1）；（2）最大值为5，最小值为；（3）答案见解析.【解析】（1）求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（2）根据求出a，进而求出函数的单调区间，然后求出函数的最值；（3）先求出导函数，然后讨论a的取值范围，进而求出函数的单调区间.【小问1详解】当时，，，切点坐标为，，切线的斜率为，切线方程为，即.【小问2详解】，是函数的极小值点，，即，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，，函数在区间上的最大值为5，最小值为.【小问3详解】函数的定义域为，，令得，.①当时，，函数在R上单调递增；②当时，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为；③当时，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.综上：时，，函数R上单调递增；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】【小问1详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，所以,又,所以平面【小问2详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面积为，所以.21、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存