天津市滨海七所重点学校2025届高二上数学期末联考试题含解析

天津市滨海七所重点学校2025届高二上数学期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）A. B.C. D.2．从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）A. B.C. D.以上全不对3．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.4．已知，为正实数，且，则的最小值为（）A. B.C. D.15．已知正四面体的底面的中心为为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．直线的倾斜角是（）A. B.C. D.7．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（）A.8 B.7C.6 D.58．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为A.11 B.12C.13 D.149．已知函数，则的值为（）A. B.C.0 D.110．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（）A. B.C. D.11．已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题B.在中“”是“”的充分必要条件C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”D.命题，使得，则，使得二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）14．的展开式中所有项的系数和为_________15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________16．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值18．（12分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角的余弦值为.（1）求PD的长；（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.20．（12分）已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.21．（12分）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，实轴长为2.（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.22．（10分）已知数列和满足，（1）若，求的通项公式；（2）若，，证明为等差数列，并求和的通项公式

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，故与差的绝对值不小于1的概率.故选：C2、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【详解】从全体三位正整数中任取一数共有900种取法，以2为底的对数也是正整数的三位数有，共3个，所以以此数以2为底的对数也是正整数的概率为，故选：B3、D【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】由椭圆的定义知，，则，因为正三角形，所以，在中，由余弦定理得，则，，故选：D【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.4、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【详解】可化为，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：D.5、B【解析】连接，再取中点，连接，得到为直线与所成角，再解三角形即可.【详解】连接，再取中点，连接，因为分别为VC，中点，则，且底面,所以为直线与所成角，令正四面体边长为1，则，,，所以，故选：.6、A【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.7、C【解析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段的长.【详解】抛物线的焦点F，准线取PQ中点H，分别过P、Q、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E则四边形为直角梯形，为梯形中位线，由抛物线定义可知，,，则故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段PQ为直径的圆与直线相切，则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.即故选：C8、B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样9、B【解析】对函数求导，然后将代入导数中可得结果.【详解】，则，则，故选：B10、D【解析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，所以B选项错误.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.11、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B12、B【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；命题，使得，则，使得，故D错误.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：在长方体中，，，，，，，，，，异面直线与所成角的大小是故答案为：14、##0.015625【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.故答案为：15、5【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为，则，因为，所以，因为，不妨设，，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以双曲线的离心率故答案为：.16、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参数的几何意义得18、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.【详解】（1）由题意可得：，得，的展开式通项为，，要求展开式中有理项，只需令，所以所以有理项有5项，（2）设第项系数最大，则，即，即，解得：，因为，所以或所以，所以展开式中系数最大的项为和.【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题19、（1）（2）（3）【解析】（1）以为轴，为轴，轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设，，由空间向量法求二面角，从而求得，得长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角；（3）由空间向量法求线面角【小问1详解】以为轴，为轴，轴与垂直，由于菱形中，轴是的中垂线，建立如图坐标系，则，，，设，，，，设平面一个法向量为，则，令，则，，即，平面的一个法向量是，因为二面角余弦值为.所以，（负值舍去）所以；【小问2详解】由（1），，，，所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为【小问3详解】由（1）平面的一个法向量为，又，，所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为20、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减法可求【小问1详解】，当时，，也满足上式，∴，则.设等比数列的公比为q，由得，解得或.因为是递增等比数列，所以，.【小问2详解】①①①②：∴21、（1）（2）【解析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.【小问1详解】双曲线离心率为，实轴长为2，，，解得，，，所求双曲线C的方程为；∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，∴双曲线焦点到渐近线的