2024八年级数学上册提练第11招构造全等三角形的六种常用方法习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第11招构造全等三角形的六种常用方法01教你一招02典例剖析03分类训练目

录CONTENTS在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些

辅助线，辅助线能使题目中的条件集中，能比较容易找到一

些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线

作法有翻折法、补形法、倍长中线法、截长(补短)法、作垂

线法和作平行线法，目的都是构造全等三角形.

如图，已知

AB

∥

CD

，

CE

，

BE

分别平分∠

BCD

和∠

CBA

，点

E

在

AD

上.求证：

BC

＝

AB

＋

CD

.

证明线段的和差关系，常采用截长补短法，即把两

条较短线段中的一条补到另一条线段上，或把较长的线段截

成两条线段，构造全等三角形来解决.

翻折法1.

如图，在△

ABC

中，

BE

是∠

ABC

的平分线，

AD

⊥

BE

，垂足为

D

.

求证：∠2＝∠1＋∠

C

.

123456【证明】如图，延长

AD

交

BC

于点

F

.

(相当于将

AB

边向

下翻折，点

A

落在点

F

处，折痕为

BE

)∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∵

AD

⊥

BE

，垂足为

D

，123456∴∠

ADB

＝∠

FDB

＝90°.

∴△

ABD

≌△

FBD

(

ASA

).∴∠2＝∠

DFB

.

又∵∠

DFB

＝∠1＋∠

C

，∴∠2＝∠1＋∠

C

.

123456

补形法2.

如图，在△

ABC

中，

AD

为中线，在

DA

的延长线上取一

点

E

，连接

EC

，使∠

E

＝∠

BAD

.

过点

C

作

CF

⊥

AD

于

点

F

.

下列结论中正确的有(

D

)①

AF

＝

CF

；②

AB

＝

CE

；③

AE

＝2

DF

；④

S△

ABD

＝

S△

ACD

；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ECF

.

A.1个B.2个C.3个D.4个123456【点拨】过点

B

作

BG

⊥

ED

，交

ED

的延长线于点

G

，如图.∵

CF

⊥

AD

，∴∠

G

＝∠

CFD

＝∠

AFC

＝90°.∵

AD

为△

ABC

的中线，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

BDG

＝∠

CDF

，∴△

BDG

≌△

CDF

.

∴

DG

＝

DF

，

BG

＝

CF

，

S△

BDG

＝

S△

CDF

.

123456∵∠

E

＝∠

BAD

，∠

EFC

＝∠

AGB

＝90°，

CF

＝

BG

，∴△

CEF

≌△

BAG

.

∴

AB

＝

CE

，

AG

＝

EF

，

S△

ECF

＝

S△

BAG

.

①无法推出

AF

＝

CF

，故①错误；②正确；③∵

AG

＝

EF

，

AG

＝

AF

＋

GF

，

EF

＝

AF

＋

AE

，123456∴

AE

＝

GF

.

∵

GF

＝

DG

＋

DF

，

DG

＝

DF

，∴

AE

＝2

DF

.

故③正确；④∵

AD

为△

ABC

的中线，∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

.

故④正确；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ABD

＋

S△

BDG

＝

S△

ABG

＝

S△

ECF

.

故⑤正确.故选D.

【答案】D123456

倍长中线法3.

如图，

AD

是△

ABC

的中线，

BM

分别交

AD

，

AC

于点

G

，

M

，∠

AGM

＝∠

MAG

.

求证：

BG

＝

AC

.

123456

123456又∵∠

AGM

＝∠

MAG

，∠

AGM

＝∠

BGF

，∴∠

BGF

＝∠

CAD

＝∠

F

.

过点

B

作

BE

⊥

FG

，垂足为点

E

，则∠

BEF

＝∠

BEG

＝90°.又∵∠

F

＝∠

BGF

，

BE

＝

BE

，∴△

BEF

≌△

BEG

(

AAS

).∴

BG

＝

BF

.

∴

BG

＝

AC

.

123456

截长(补短)法4.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝120°，∠

B

＝∠

D

＝90°.

E

，

F

分别是

BC

，

CD

上的点，且

∠

EAF

＝60°.探究图中线段

BE

，

EF

，

FD

之间的数量关系，并证明.123456【解】

EF

＝

FD

＋

BE

.

证明：如图，延长

FD

至点

G

，使

DG

＝

BE

，连接

AG

.

∵∠

B

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

B

＝∠

ADG

＝90°.

∴△

ABE

≌△

ADG

(

SAS

).∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

123456∵∠

BAD

＝120°，∠

EAF

＝60°，∴∠

BAE

＋∠

FAD

＝60°，∴∠

DAG

＋∠

FAD

＝60°，即∠

GAF

＝60°.∴∠

EAF

＝∠

GAF

.

∴△

EAF

≌△

GAF

(

SAS

).∴

EF

＝

GF

＝

FD

＋

DG

.

∴

EF

＝

FD

＋

BE

.

123456

作垂线法5.

[2024·淮北五校联考期中]如图，在△

ECF

中，∠

ECF

＝

90°，点

C

(－3，3)，

CE

交

x

轴负半轴于点

A

，

CF

交

y

轴负半轴于点

B

，则

OA

－

OB

的值为

⁠.6

123456如图，过点

C

分别作

x

轴与

y

轴的垂线，垂足分别为

M

，

N

.

由题易知

CM

＝

CN

＝

ON

＝

OM

＝3，∠

MCN

＝

90°.【点拨】又∵∠

ECF

＝90°，∴∠

ECF

＝∠

MCN

.

∴∠

ACM

＝∠

ECF

－∠

MCF

＝∠

MCN

－∠

MCF

＝∠

BCN

.

123456由题易知∠

AMC

＝∠

BNC

＝90°.∴△

AMC

≌△

BNC

(

ASA

).∴

AM

＝

BN

.

∴

OA

－

OB

＝(

AM

＋

OM

)－(

BN

－

ON

)＝

AM

＋

OM

－

BN

＋

ON

＝

AM

＋3－

AM

＋3＝6.故答案为6.123456

作平行线法6.

如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，

AP

平分∠

BAC

交

BC

于点

P

，

BQ

平分∠

ABC

交

AC

于点

Q

.

求证：

AB

＋

BP

＝

BQ

＋

AQ

.

123456【证明】如图，过点

Q

作

QE

⊥

BC

于点

E

，则∠

BEQ

＝

∠

CEQ

＝90°.∵∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，∴∠

ABC

＝80°.∵

BQ

平分∠

ABC

，

∴∠

CBQ

＝∠

C

.

123456

∴△

BQE

≌△

CQE

(

AAS

).∴

BQ

＝

CQ

.

∴

BQ

＋

AQ

＝

CQ

＋

AQ

＝

AC

.

①过点

P