2024八年级数学上册第13章三角形中的边角关系命题与证明练素养1.三角形角的关系的八种常见题型习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第13章三角形中的边角关系、命题与证明集训课堂练素养1.三角形角的关系的八种常见题型

三角形内角和定理与三角形外角的性质是解决角的有关

计算及推理论证问题时经常使用的理论依据.利用三角形内

角和与外角的性质求角的度数时，要通过内角和外角相互转

化，将未知转化为已知，进而求出角的度数.1.[新趋势·学科综合2023·山西]如图，一束平行于主光轴的

光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心

O

的光

线相交于点

P

，点

F

为焦点.若∠1＝155°，∠2＝30°，

则∠3的度数为(

C

)A.45°B.50°C.55°D.60°C题型1

三角形内角和定理在求角度中的应用12345678题型2

三角形内角和定理在折叠中的应用2.

如图①②③④，两次折叠三角形纸片

ABC

，先使点

B

与

点

C

重合，折痕为

DE

，展平纸片；再使

AC

落在

BC

上，

折痕为

CF

，展平纸片.若∠

A

＝66°，∠

B

＝44°，求

∠

COE

的度数.12345678

12345678题型3

三角形内角和定理在类比思想中的应用3.

如图，在△

ABC

中，点

P

是∠

ABC

，∠

ACB

的平分线的

交点.(1)若∠

A

＝60°，求∠

BPC

的度数.12345678

12345678

【解】正确.理由如下：∵

BP

，

CP

分别为∠

ABC

，∠

ACB

的平分线，

12345678题型4

三角形内角和定理在转化思想中的应用4.

如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.12345678【解】连接

CG

，

DF

.

∵在△

COG

和△

AOB

中，∠

COG

＝∠

AOB

，∴∠6＋∠7＝∠

OCG

＋∠

OGC

.

∵在四边形

CDFG

中，∠

OCG

＋∠2＋∠

CDF

＋∠

DFG

＋∠3＋∠

OGC

＝360°，∴∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠

CDF

＋∠

DFG

＝360°.又∵在△

DEF

中，∠

EDF

＋∠

EFD

＋∠5＝180°，∴∠

EDF

＋∠

CDF

＋∠

EFD

＋∠

DFG

＋∠2＋∠3＋∠5

＋∠6＋∠7＝540°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.12345678【点方法】连接

CG

，

DF

，利用

转化思想

，将求∠1＋∠2＋

∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数转化为求四边形

CDFG

的内角和与△

DEF

的内角和之和.【点方法】连接

CG

，

DF

，利用

转化思想

，将求∠1＋∠2＋

∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数转化为求四边形

CDFG

的内角和与△

DEF

的内角和之和.12345678题型5三角形内、外角的关系在探究角的关系中的应用5.

如图，在△

ABC

中，点

O

是外角∠

DBC

的平分线与外角

∠

ECB

的平分线的交点.判断∠

BOC

与∠

A

的数量关

系，并说明理由.12345678

12345678题型6三角形内、外角的关系在折角中的应用6.

探索归纳：(1)如图①，已知△

ABC

为直角三角形，∠

A

＝90°，若

沿图中虚线剪去∠

A

，则∠1＋∠2等于(

C

)CA.90°B.135°C.270°D.315°12345678(2)如图②，已知在△

ABC

中，剪去∠

A

后得到四边

形

BCEF

，试探究∠1＋∠2与∠

A

的数量关系，并

说明理由.12345678【解】∠1＋∠2＝∠

A

＋180°.理由如下：∵∠1，∠2为△

AEF

的外角，∴∠1＝∠

A

＋∠

AEF

，∠2＝∠

A

＋∠

AFE

.

∴∠1＋∠2＝∠

A

＋∠

A

＋∠

AEF

＋∠

AFE

.

又∵∠

A

＋∠

AEF

＋∠

AFE

＝180°，∴∠1＋∠2＝∠

A

＋180°.12345678(3)若没有将∠

A

剪掉，而是把它折成如图③的形状，试

探究∠1＋∠2与∠

A

的数量关系，并说明理由.12345678【解】∠1＋∠2＝2∠

A

.

理由如下：∵△

EFP

是由△

EFA

折叠得到的，∴∠

AFE

＝∠

PFE

，∠

AEF

＝∠

PEF

.

∴∠1＝180°－2∠

AFE

，∠2＝180°－2∠

AEF

.

∴∠1＋∠2＝360°－2(∠

AFE

＋∠

AEF

).又∵∠

AFE

＋∠

AEF

＝180°－∠

A

，∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠

A

)＝2∠

A

.

12345678题型7三角形内、外角的关系在方程思想中的应用7.

如图，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

(1)求证：∠

EAC

＝∠

B

；【证明】∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

又∵∠

EAD

＝∠

EDA

，∴∠

EAC

＝∠

EAD

－∠

CAD

＝∠

EDA

－∠

BAD

＝∠

B

.

12345678(2)若∠

B

＝50°，∠

CAD

∶∠

E

＝1∶3，求∠

E

的度数.【解】设∠

CAD

＝

x

，则∠

BAD

＝

x

，∠

E

＝3

x

.由(1)知∠

EAC

＝∠

B

＝50°，∴∠

EAD

＝∠

EDA

＝

x

＋50°.在△

EAD

中，∵∠

E

＋∠

EAD

＋∠

EDA

＝180°，∴3

x

＋2(

x

＋50°)＝180°，解得

x

＝16°.∴∠

E

＝48°.12345678题型8三角形内、外角的关系在整体思想中的应用8.

[2024·衡水五中模拟]如图，在△

ABC

中，∠

ABC

，

∠

ACB

的平分线交于点

O

，点

D

是外角∠

ACH

与内角

∠

ABC

平分线的交点，∠

BOC

＝120°.(1)求∠

A

的度数；12345678【解】∵∠

BOC

＝120°，∴∠

OBC

＋∠

OCB

＝60°.∵∠

ABC

，∠

ACB

的平分线交于点

O

，∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2∠

OBC

＋2∠

OCB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝120°.∴∠

A

＝60°.12345678(2)求∠

D