数学自我小测：综合法和分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1设a、b∈R＋，A＝eq\r(a）＋eq\r（b），B＝eq\r（a＋b），则A、B的大小关系是________．2设a、b、c∈R＋,若a＋b＋c＝1，则eq\f(1，a）＋eq\f(1，b)＋eq\f(1,c）≥________.3下列四个不等式:①a＜0＜b；②b＜a＜0;③b＜0＜a;④0＜b＜a，其中能使eq\f（1，a）＜eq\f(1，b)成立的充分条件有________．4给出下列四个命题：①若a＞b＞0,则eq\f(1,a）＞eq\f(1，b)；②若a＞b＞0,则a－eq\f（1，a）＞b－eq\f(1,b）;③若a＞b＞0，则eq\f（2a＋b,a＋2b）＞eq\f(a，b);④设a，b是互不相等的正数，则｜a－b|＋eq\f（1,a－b)≥2。其中正确命题的序号是________．5证明对任意实数x、y，有x4＋y4≥eq\f（1,2）xy(x＋y）2。6设x、y都是正数，求证：eq\f(1，2）（x＋y)2＋eq\f(1,4）（x＋y）≥xeq\r(y)＋yeq\r(x）.7已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．8已知a，b,m都是正数，在空白处填上适当的不等号:（1）当a________b时，eq\f（a,b)＞eq\f(a＋m，b＋m）;(2）当a________b时,eq\f（a，b）≤eq\f(a＋m，b＋m）.9已知实数a、b、c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥eq\f(1,3)(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c）．10已知:a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1＜a＋b＜eq\f(4,3）.

参考答案1．A＞B解析：∵(eq\r（a)＋eq\r（b））2＝a＋2eq\r(ab)＋b，∴A2－B2＝2eq\r（ab）.∴A2－B2＞0.又A＞0，B＞0,∴A＞B。2．93．①②④解析：①a＜0＜b⇒eq\f（1,a）＜0，eq\f（1，b)＞0⇒eq\f(1，a）＜eq\f(1，b）；②b＜a＜0⇒eq\f(1,a)＜eq\f（1，b）；③b＜0＜a⇒eq\f（1，a）＞eq\f（1,b);④0＜b＜a⇒eq\f（1,a）＜eq\f（1,b）。故选①②④。4．②解析：①a＞b＞0,则eq\f（1，a)＜eq\f（1，b),故①错；②a＞b＞0，则－eq\f(1，a)＞－eq\f（1,b），故②对;③中eq\f(2a＋b,a＋2b）－eq\f(a,b)＝eq\f((2a＋b)b－(a＋2b）a,b(a＋2b）)＝eq\f(b2－a2，b（a＋2b）)＜0，故③错；④因为a－b不能确定为正数，故④错．5．证明:要证x4＋y4≥eq\f(1,2）xy(x＋y)2。只需证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.只需证eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4＋y4≥x3y＋xy3,①，x4＋y4≥2x2y2。②））不等式②显然成立，下面证明不等式①。(x4＋y4)－（x3y＋xy3)＝(x－y)(x3－y3）．∵x－y与x3－y3同号．∴(x－y）(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3。∴x4＋y4≥eq\f（1,2)xy（x＋y)2.6．证明：原不等式⇔2（x＋y)2＋（x＋y）≥4xeq\r（y）＋4yeq\r（x）⇔(x＋y)［2(x＋y)＋1]≥2eq\r(xy)（2eq\r(x)＋2eq\r（y)）．∵x＋y≥2eq\r(xy)＞0,∴只需证2(x＋y）＋1≥2eq\r（x)＋2eq\r（y),即证eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,4))）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＋\f（1，4)）)≥eq\r(x)＋eq\r(y），而x＋eq\f(1,4)≥2eq\r(\f（x,4))＝eq\r（x)，y＋eq\f(1,4）≥2eq\r(\f（y,4）)＝eq\r（y），当且仅当x＝y＝eq\f(1,4)时,等号成立．∴eq\f（1,2)(x＋y)2＋eq\f（1,4)（x＋y)≥xeq\r（y)＋yeq\r（x).7．eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，3))解析:∵－eq\f(x2＋y2，2)≤xy≤eq\f（x2＋y2，2）。∴eq\f(1，2）(x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤eq\f（3,2）（x2＋y2)．又∵1≤x2＋y2≤2.∴eq\f（1，2)≤z≤3。8．（1）＞(2）≤解析：（1）eq\f（a,b）＞eq\f(a＋m,b＋m)⇔ab＋am＞ab＋bm⇔am＞bm⇔a＞b；(2)eq\f(a，b）≤eq\f（a＋m，b＋m)⇔a（b＋m）≤b(a＋m）⇔am≤bm⇔a≤b。9．证明：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2）（a＋b）≥2ab(a＋b），即a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac将三式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac∴3（a3＋b3＋c3）≥(a3＋a2b＋a2c)＋（b3＋b2a＋b2c）＋(c3＋c2a＋＝（a＋b＋c）(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥eq\f(1,3）(a2＋b2＋c2）（a＋b＋c)．10．证明：∵a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.∴a2＋ab＋b2＝a＋b.∴(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b。∴a＋b＞1。要证a＋b＜eq\f（4,3），只需证3（a＋b)＜4。只需证3