数学自我小测：直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为（－2,－4,k），若α∥β，则k＝（)A．2B．－4C．4D2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0，8)，则(）A．l∥αB．l⊥α C．lαD．l与α斜交3．已知向量a＝(2,3,5),b＝(3，x,y)分别是直线l1,l2的方向向量，若l1∥l2，则（)A．x＝eq\f（9,2)，y＝15B．x＝3，y＝eq\f（15,2） C．x＝3，y＝15D．x＝eq\f(9，2)，y＝eq\f（15,2)4．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0,－2，－1），b＝（2,0,4）,则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（)A．－eq\f（2，5)B。eq\f（2,5)C．－eq\f（2\r(5),5）D。eq\f(2\r(5),5)5．已知平面α过点A(1，－1，2),其法向量n＝(2，－1，2）,则下列点在α内的是()A．（2，3，3）B．(3，－3,4) C．(－1,1,0)D．(－2,0,1)6．在正方体ABCD.A1B1C1D1中，E,F分别是BB1，CD的中点,则A．平面AED∥平面A1FD1B．平面AED⊥平面A1FD1C．平面AED与平面A1FD相交但不垂直D．以上都不对7．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，eq\o（OP，\s\up6(→））＝αeq\o(OA，\s\up6(→））＋βeq\o（OB，\s\up6（→）)，那么α＋β＝__________.8．已知直线l的方向向量v＝(2,－1,3)，且过A(0，y，3）和B（－1，2，z)两点，则y＝__________，z＝__________。9．已知如图所示的正四棱锥,在向量eq\o(PA，\s\up6(→)）－eq\o(PB，\s\up6（→））＋eq\o(PC，\s\up6（→）)－eq\o(PD,\s\up6（→）)，eq\o(PA，\s\up6(→））＋eq\o（PC，\s\up6(→）)，eq\o(PB，\s\up6（→))＋eq\o(PD，\s\up6（→)）,eq\o(PA,\s\up6(→））＋eq\o(PB，\s\up6（→）)＋eq\o（PC,\s\up6(→））＋eq\o（PD,\s\up6(→))中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是__________．10．已知三棱锥O.ABC中，OA＝OB＝1,OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC,DC∥AB。11．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱）ABC。A1B1C1的底面△ABC中,CA＝CB＝1，∠BCA＝90°,棱AA1＝2,M，N分别为A1B1，A1A（1)求cos〈eq\o（BA1,\s\up6（→）)，eq\o(CB1，\s\up6(→））〉的值;(2）求证：BN⊥平面C1MN。12．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，求证：(1)MN∥平面PAD;（2）平面QMN∥平面PAD；(3)MN⊥平面PCD。参考答案1．解析：∵α∥β,∴eq\f(1,－2）＝eq\f(2,－4）＝eq\f(－2,k)，∴k＝4。答案:C2．解析：∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.答案：B3．解析：∵l1∥l2,∴a∥b，∴eq\f（3,2）＝eq\f(x，3）＝eq\f(y，5)，∴x＝eq\f(9,2),y＝eq\f(15,2).答案：D4．解析：a·b＝－4,|a｜＝eq\r(5),｜b｜＝2eq\r（5)，cosθ＝|cos〈a,b〉｜＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（a·b,|a|｜b|）))＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（－4,10)))＝eq\f（2，5）。答案：B5．解析：设M(x，y,z)为平面内一点，则eq\o(AM,\s\up6（→））·n＝0,即2(x－1)－（y＋1）＋2（z－2)＝0。又因为A项中坐标满足上式，故选A.答案:A6．解析：以D为原点,eq\o(DA，\s\up6（→））,eq\o（DC，\s\up6（→）），eq\o(DD1,\s\up6(→)）分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系,设平面AED的法向量为n1，平面A1FD1的法向量为n2.可得n1·n2＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.答案:B7．答案:18．解析：因为eq\o（AB,\s\up6(→))＝（－1，2－y,z－3），eq\o(AB,\s\up6(→))∥v,故eq\f(－1，2)＝eq\f(2－y，－1）＝eq\f（z－3，3），故y＝eq\f(3，2)，z＝eq\f(3,2）。答案：eq\f（3，2）eq\f(3，2）9．解析：因为eq\o（PA，\s\up6（→))－eq\o（PB，\s\up6（→）)＋eq\o（PC，\s\up6(→））－eq\o（PD,\s\up6(→)）＝eq\o（BA,\s\up6(→）)＋eq\o（DC,\s\up6(→)）＝0，不能作为这个平面的法向量，对其他三个化简后可知均与eq\o(PO,\s\up6(→))共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．答案：eq\o（PA,\s\up6(→））－eq\o(PB，\s\up6（→)）＋eq\o（PC,\s\up6（→）)－eq\o(PD，\s\up6(→))10．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则A（1，0,0)，B(0,1，0),C(0，0，2)，设所求点D(x，y，z)．由BD∥AC，DC∥ABeq\o(BD，\s\up6（→))∥eq\o(AC,\s\up6（→))，eq\o(DC，\s\up6（→))∥eq\o(AB,\s\up6（→）），因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y－1，z＝k1－1，0,2,,－x，－y,2－z＝k2－1,1，0)）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1,,y＝1，，z＝2。)）即D点的坐标为（－1,1，2）．11．解：以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Oxyz。(1）依题意得A1（1，0，2),C（0，0,0）,B（0，1,0），B1（0，1，2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→)）＝(1，－1,2）,eq\o（CB1，\s\up6(→）)＝（0，1，2），∴eq\o（BA1，\s\up6（→））·eq\o(CB1,\s\up6(→）)＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3，｜eq\o（BA1，\s\up6(→)）|＝eq\r（6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))｜＝eq\r（5)，∴cos<eq\o（BA1,\s\up6(→))，eq\o（CB1,\s\up6（→)）〉＝eq\f（\o（BA1，\s\up6(→)）·\o(CB1,\s\up6(→))，｜\o（BA1，\s\up6(→))|·|\o（CB1，\s\up6（→))｜）＝eq\f(\r(30),10)。（2)证明：依题意得C1（0，0，2)，N(1,0,1)，∴Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f（1，2），2）),∴eq\o（C1M,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2），\f（1,2）,0）），eq\o（C1N，\s\up6（→））＝(1，0，－1)，eq\o(BN,\s\up6（→））＝(1，－1，1),∴eq\o（C1M,\s\up6（→）)·eq\o（BN，\s\up6(→））＝eq\f（1,2)×1＋eq\f（1，2）×（－1）＋1×0＝0，eq\o（C1N，\s\up6（→)）·eq\o（BN，\s\up6(→））＝1×1＋0×（－1)＋(－1）×1＝0,∴eq\o(C1M，\s\up6(→）)⊥eq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o（C1N，\s\up6(→）)⊥eq\o(BN，\s\up6(→))，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N∴BN⊥平面C1MN。12．证明：(1）如图，以A为原点，以AB,AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B（b,0,0），D(0，d，0），P(0，0，d），则C(b，d,0)．∵M,N，Q分别是PC,AB，CD的中点,∴Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（b，2)，\f（d，2）,\f(d，2))），Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(b,2）,0，0)），Qeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b，2），d，0))，∴eq\o(MN,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，－\f(d，2）,－\f(d，2))）.∵平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0），∴eq\o（MN,\s\up6(→))·m＝0，即eq\o(MN，\s\up6（→))⊥m。又∵MN不在平面PAD内，∴MN∥平面PAD。(2）eq\o（QN，\s\up6（→)）＝（0，－d，0),eq\o(QN，\s\up6(→)）⊥m，又QN不在平面PAD内,∴QN∥平面PAD.又∵MN∩QN＝N，∴平面MNQ∥平面PAD.（3）eq\o(PD，\s\up6(→))＝(0，d，－d),eq\o（DC，\s\up6(→)）＝（b,0,0），∴eq\o（MN,\s\up6(→）)·eq\o(PD,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4