菏泽市重点中学2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

菏泽市重点中学2025届高二数学第一学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.3．是直线与直线互相平行的（）条件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要4．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）A. B.C. D.6．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（）A. B.C. D.7．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.8．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数 B.当时，取得最小值C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数9．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数10．设实数x，y满足，则目标函数的最大值是（）A. B.C.16 D.3211．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（）A. B.C. D.12．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量，，，且向量，，共面，则______14．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______15．若双曲线的左、右焦点为，，直线与双曲线交于两点，且，为坐标原点，又，则该双曲线的离心率为__________.16．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此时的值.18．（12分）如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动（1）若Q为的中点，求点Q到平面的距离；（2）设直线与平面所成角为，求的取值范围19．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn20．（12分）已知在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求证：在四棱锥A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，说明理由.21．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）证明：数列是等比数列；（2）设bn＝－，求数列{bn}的前n项和Sn.22．（10分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题2、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.3、B【解析】求出直线与平行的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由解得或，当时，与平行，当时，与平行，则直线与直线平行等价于或，所以是直线与直线互相平行的充分而不必要条件.故选：B4、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.5、C【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，则点，所以圆心为，半径，所以方程为，故选：C6、A【解析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于是得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A7、C【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，∴以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则，，，设平面ABD的单位法向量，，由解得取，则∴点C到平面ABD的距离.故选：C8、D【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.9、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.10、C【解析】求的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得的最大值，最后求出的最大值.【详解】要求的最大值即求的最大值.根据实数，满足的条件作出可行域，如图.将目标函数化为.则表示直线在轴上的截距的相反数.要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.由，解得所以的最大值为，则的最大值为16.故选：C.11、A【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选：A12、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】由向量共面的性质列出方程组求解即可.【详解】因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，解得∴故答案为：14、【解析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.【详解】由题可知，∴,又，代入上式整理得，由得为直角三角形又的面积为4，设，，则解得所以椭圆的标准方程为15、【解析】根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由直线与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，在三角形中，，所以，是以为直径的圆与双曲线的交点，不妨设在第一象限，，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，所以，由所以，又因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以，即，，所以离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键.16、24【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.【详解】依题意，，，又，解得，，则有，即，连接，如图，因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，因此，四边形是平行四边形，，所以的面积为24.故答案为：24三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2），.【解析】（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.【小问1详解】由题意知：，解得【小问2详解】由（1）知，∴，由对勾函数单调性知在上单调递减，∴，即当，函数的最小值为18、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法计算即可；(2)设点，，进而得出的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果.【小问1详解】由题意，分别以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，于是，，，，，设平面法向量所以，解得，，令得，，设点Q到平面的距离为d，【小问2详解】由（1）可知，平面的法向量，由P点在线段AC上运动可设点，于是，，所以，的取值范围是19、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题20、（1）证明见解析（2）点F为线段AC的中点【解析】（1）由平面几何知识证得CE⊥BE，再根据面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质可得证；（2）取BE的中点O，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设在线段AC上存在点F，设=λ，运用二面角的向量求解方法可求得，可得点F的位置.【小问1详解】证明：因为在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小问2详解】解：存在点F，F为线段AC的中点.由（1）得△ABE和△BEC均为等腰直角三角形，取BE的中点O，则，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，取平面ABE的一个法向量为.假设在线段AC上存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为.则A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=（-1，2，-1），设=λ，则+λ=（1-λ，2λ，1-λ），又=（2，0，0），设平面BEF的法向量为，可得，即得，可取y=1，得，所以，解得λ=，即当点F为线段AC的中点