2025届上海市戏剧学院附中高一上数学期末监测试题含解析

2025届上海市戏剧学院附中高一上数学期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（）A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，，那么D.如果，，，那么2．“xR，exx10”的否定是（）A.xR，exx10 B.xR，exx10C.xR，exx10 D.xR，exx103．已知，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.4．设命题p：，命题q：，则p是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（）A. B.C. D.6．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A B.C. D.7．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：A. B.C. D.8．已知函数，则在上的最大值与最小值之和为（）A. B.C. D.9．已知向量，，若，则实数的值为（）A.或 B.C. D.或310．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数即_____12．已知，则__________.13．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.14．东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为________15．已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是______16．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的值.18．如图，四面体中，平面，，，，.（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值19．已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围.20．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.（1）求圆的一般方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.21．如图，设α是任意角，α∈R，它的终边OA与单位圆相交于点A，点（1）当A在OB的反向延长线上时，求tanα;（2）当OA⊥OB时，求sin2α.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【详解】A.如果，，，由面面垂直的判定定理得，故正确；B.如果，，由面面平行的性质定理得，故正确；C.如果，，，由线面平行的性质定理得，故正确；D如果，，，那么相交或平行，故错误；故选：D【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.2、B【解析】由全称命题的否定即可得解.【详解】因为命题“xR，exx10”为全称命题，所以该命题的否定为：xR，exx10.故选：B.3、C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：C.4、B【解析】先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义判断【详解】由，得，所以命题p：，由，得，所以命题q：，因为当时，不一定成立，当时，一定成立，所以p是q成立的必要不充分条件，故选：B5、B【解析】由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图，图中正四棱柱的底面边长为，高为，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为，底长的等腰三角形，其面积分别为：，所以三棱锥的表面积为，故选B.6、C【解析】易知函数在R上递增，由求解.【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，所以函数在R上递增，所以，解得，故选：C7、C【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，故.故答案为C.【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称8、D【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为，当时，，由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】当时，，所以最大值与最小值之和为：.故选：D【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题.9、A【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.【详解】由向量，，知.若，则，解得或-3.故选A.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.10、B【解析】根据指数函数的单调性分析出的范围，根据对数函数的单调性分析出的范围，结合中间值，即可判断出的大小关系.【详解】因为在上单调递减，所以，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，综上可知：，故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与作比较；（2）作商法：作商与作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-1【解析】结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由题意可得：，则.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值12、3【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.【详解】由题设，，可得，∴.故答案为：313、或【解析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解【详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，当时，设直线方程为：，因为直线过点，所以，即，所以直线方程为：,即：，当时，直线过点，且又过点，所以直线的方程为，即：，综上，直线的方程为：或.故答案为：或【点睛】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.14、##【解析】设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比【详解】解：由题意，如图所示，设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，则小扇形纸面面积，折扇纸面面积，由于时，可得，可得，原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为：故答案为：15、【解析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a的取值范围.【详解】由可知，关于对称，又，当时，单调递减，故不等式等价于，即，因为不等式解集是集合的子集，所以，解得故答案为：16、1【解析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为，，，所以，，不妨设，，分别过，，则，，则，所以故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）若，求出集合、B，进而求出；（2）根据题意得到A是B的真子集，分A为空集和不为空集两种情况，求出a的取值范围.【小问1详解】若，则，，所以.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，①当时，即时，不满足互异性，不符合题意；②当时，即或时，由①可知，时，不符合题意，当时，集合，满足，故可知符合题意.所以.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，.（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.因为与相似，，从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.19、（1）（2）【解析】（1）时，求出集合，由此能求出；（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围【小问1详解】解：时，集合，，【小问2详解】解：，，当时，，解得，当时，，解得，实数的取值范围是20、（1）；（2）反射光线所在的直线方程的一般式为：.【解析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.试题解析：（1）设圆，因为圆心在直线上，所以有：，又因为圆经过点，所以有：，而圆心到直线的距离为，由弦长为4，我们有弦心距.所以有联立成方程组解