2025届吉林省白山市抚松县第六中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2025届吉林省白山市抚松县第六中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A. B.C. D.2．已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.73．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆圆，圆若过原点的直线与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（）A. B.C. D.4．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（）A. B.C. D.5．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm7．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.9．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.-4 B.4C.-2 D.211．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-112．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线，，若，则实数______14．已知为曲线：上一点，，，则的最小值为______15．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.16．小明同学发现家中墙壁上灯光边界类似双曲线的一支.如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为____cm.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由18．（12分）已知函数在处取得极值确定a的值；若，讨论的单调性19．（12分）已知集合，设（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围20．（12分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的一个方向向量为；已知直线l过点，且___________.（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆C：相交于M，N两点，求弦长.22．（10分）已知等差数列的前n项和为，若公差，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出，分析可得，可得出关于、、的齐次等式，由此可求得该双曲线的离心率的值.【详解】联立，可得，则，易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，又因为为等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.2、A【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.【详解】由题意可得，，则，解得故选：A.3、A【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长【详解】设过点的直线.由直线与圆、圆均相切，得解得(1).设点到直线的距离为则(2).又圆的半径直线截圆所得弦长结合(1)(2)两式，解得4、B【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：B.5、D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.6、B【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.故选：B7、C【解析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题8、C【解析】取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.故选：C9、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A10、B【解析】根据，利用等比数列的通项公式求解.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B11、C【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.12、A【解析】推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.【详解】因为函数的图象关于轴对称，则，故，，又因为，都有，所以，，所以，，，，因为当时，，，当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，因为，则，故.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由直线垂直可得到关于实数a的方程，解方程即可.【详解】由直线垂直可得：，解得：.故答案为：14、【解析】曲线是抛物线的右半部分，是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把转化为到准线的距离，则到准线的距离为所求距离和的最小值【详解】易知曲线是抛物线的右半部分，如图，因为抛物线的准线方程为，是抛物线的焦点，所以等于到直线的距离．过作该直线的垂线，垂足为，则的最小值为故答案为：15、##【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：16、【解析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：，因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以，即，因为AB=60cm，PC=20cm，所以点的坐标为：，代入，得：，因此有，所以该双曲线的焦距为，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；中位数所在区间（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.【小问1详解】，解得成绩在区间上的频率为，，所以中位数所在区间，【小问2详解】选成绩最好的同学去参赛，分数在之间共有人，所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）18、（1）（2）在和内为减函数，在和内为增函数【解析】（1）对求导得，因为在处取得极值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，当时，，故为减函数，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，，故为增函数，综上所知：和是函数单调减区间，和是函数的单调增区间.19、（1）（2）【解析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.【小问1详解】解：由题意得：，p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以实数a的取值范围.【小问2详解】¬q是¬p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件集合B是集合A的真子集∴，故实数a的取值范围为20、（1）；（2）直线恒过定点.【解析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.【详解】（1）椭圆的面积等于，，，椭圆的焦距为，，，椭圆方程为（2）设直线，，则，，三点共线，得，直线与椭圆交于两点,,，，由，得，，，代入中，，，当，直线方程为，则重合，不符合题意；当时，直线,所以直线恒过定点.21、（1）若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为；（2）若选择①②，则；若选择③，则.【解析】（1）根据所选择的条件，结合直线过点，即可写出直线的方程；（2）利用（1）中所求直线方程，以及弦长公式，即可求得结果.【小问1详解】若选①与直线平行，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选②与直线垂直，则直线的斜率满足，解得；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；若选③直线l的一个方向向量为，则直线的斜率；又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；综上所述：若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为.【小问2详解】对圆C：，其圆心为，半径，根据（1）中所求，若选择①②，