中考数学模拟试题分类汇编专题-压轴题+九年级数学上册错题集

中考数学模拟试题

分类汇编专题-压轴题十九年级数学上册错题集

专题16压轴题

一、选择题

1.【2016广东省深圳市二模】如图，两个反比例函数y产勺（其中k>0）和丫2=之在第一

xx

象限内的图象依次是G和C2,点P在C上.矩形PCOD交C2于A、B两点，0A的延长线交G

于点E,EFLx轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6,则EF：AC为（）

A.73：1B.2：百C.2：1D.29：14

【答案】A

【解析】

313

试题分析：苜先根据反比例函数y2=-的解析式可得到S_==S_.x=：；X3=-,再由阴影部分面积为6可得

x22

619

到S定多PD8=%从而得到图象c：的函数关系式为尸-,再算出AEOF的面积S_3„=-X9=-，可以得到^AOC

9

2-

=-=

与aEOF的面积比产^3然后证明△EOFsZkAOC,根据对应边之比等于面积比的平方可得到

2-

EF：AC=^:1.

故选：A.

考点：1、反比例函数系数k的几何意义，2、以及相似三角形的性质

二、填空题

1.12016广东省广州市海珠区一模】如图，正方形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交

于点0,CM交BD于点N,若BM=1,则线段ON的长为

【解析】

试题分析：首先过点M作MH1AC于H,如图，根据正方形的性质得/MAH=45。，则4加为等腰直角三角

形,再求出AH=MH=2/1AM=—

X2=0,MB=MH=0,OC=AC=72+1CH=AC-AH=272+2-0=2+0,

2

然后证明△CONs^CHM,再利用相似比可计算出ON=1.

考点：1、正方形的性质，2、相似三角形的判定与性质，3、角平分线的性质

4

2.如图，AAOB与AACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=—(x>0)上，点A、

X

C在x轴上，连接BC交AD于点P,则△OBP的面积=

【解析】

试题分析：设等边△AOB的边长为a,等边△ACD的边长为b,由等边三角形的性质找出点B

的坐标(1a,且a),点I)的坐标为(a+gb,—b),过点B作BE，x轴于点E,过点

2222

P作PDx轴于点F,由等边三角形的性质可找出NBOA=60°=ZPAC,从而得出BO〃PA,根

rp

据平行线的性质即可得出一=—,再由BE_Lx轴，PF_Lx轴得出BE〃PF,由此得出

CBOC

rpprh

f="=能=—根据比例关系找出线段PF的长度，通过分割三角形以及三角形

CBBEOCa+b

的面积公式找出S.OBP=3/,由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得

4

考点：1、等边三角形的性质，2、反比例函数图象上点的坐标特征，3、三角形的面积公式,

4、平行线的性质

三、解答题

17

1.【2016广东省东莞市二模】如图，已知直线丫=一*+—与x轴、y轴分别相交于B、A两点,

22

抛物线y=ax2+b«x+c经过A、B两点，且对称轴为x=-3.

(1)求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；

(2)若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点0运动，过点P作y轴的平行线交直线

AB于点M,交抛物线于点N,设点P运动的时间为t,MN的长度为s,求s与t之间的函数

关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？

【解析】

试题分析：(1)根据直线的解析式分别令x=0、y=0,即可求得A、B的坐标，然后设出抛物

线的顶点式，用待定系数法得到二次函数的解析式即可;

(2)设BP=t(0<t<7),则0P=7-t,P(t-7,0),M(t-7,-),N(t-7,--(t

22

i7i

-7+3),+8),即可得出s=MN=--t'-t(0<t<7),由--<0,可知S有最大值，然后

222

根据二次函数的性质即可求得s的最大值.

试题解析：(D,「直线y=gx+三与x轴'y轴分别相交于B、A两点,

.,.令x=O,则y=1,令y=O,贝i」x=-7,

:*(0,1),B(-7,0),

••・抛物线的对称轴为直线x=-3.

二设抛物线的解析式为尸a(x+3)：也，

...抛物线过A(0,B(-7,0),

7[1

2解得J2.

16a+〃=0w=8

二抛物线的解析式为尸-1(x+3)；铝.

(2)设BP=t(0<t<7),则0P=7-t,

AP(t-7,0)

•.•由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上

AM(t-7,-),

2

「MN与y轴平行，且点N在抛物线上

AN(t-7,--(t-7+3)2+8),

2

1t17、

・・s=MN=-—(t-7+3)+8--=-—t+—t(0VtV7),

2222

♦・・-1CO,即S有最大值

2

77749

(一)+—X———.

22,28

考点：1、待定系数法求二次函数解析式：2、一次函数图象与系数的关系；3、二次函数的

性质.

2.【2016广东省广州市番禹区】已知二次函数y=mx，nx+p图象的顶点横坐标是2,与x轴

交于A(x,,0)、

B(x2>0),X1<0<x2,与y轴交于点C,0为坐标原点，tan/CAO-tanNCB0=l.

(1)求证:n+4m=0；

(2)求m、n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值.

【答案】(1)证明见解析(2)m=-,廿-1或!!1=-!,n=l(3)4

44

【解析】

试题分析：(D由题意可知抛物线的对称轴为x=2,利用对称轴公式x=-§,易证n+4m=0;

la

(2)本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定,

所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；

(3)本问利用一元二次方程的判别式等于0求解.当P>0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与

直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0,据此求出

P的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值.

试题解析：

(D二.二次函数y=mx:+nx+p图象的顶点横坐标是2,

J抛物线的对称轴为x=2,

即一7；-二2,

2m

化简得：n+4m=0.

(2)•.,二次函数y=mx^+nx+p与x轴交于A(x”0)、B(x2,0),Xi<0<x2,

/.0A=-Xi,OB=X2；

np

X|+X2=--------，X]*X2=-；

mm

令x=0,得y=p,

AC(0,p),

/.0C=pI.

OC_\P\

由三角函数定义得：lan/CAO=-2--£==-M---==-_--W-，LanZCBO-----=—.

OA-%jX)OBx2

VtanZCAO-tanZCB0=l

将X1+X2=---n-，Xi"2二2一n代入得:

mtn

由⑴知n+4m=0,

当n=l时，m=--；当n二一1时，01=—.

44

.*.m>n的值为：m=—,n=-1(此时抛物线开口向上)或m=—,n=l(此时抛物线开口向

44

下).

(3)解：由(2)知，当p>0时，n=l,

••・抛物线解析式为：尸一9X：+X".

4

联立抛物线产一:x：+x+p与直线y=x+3解析式得到：-2x：+x+p=x+3,

44

化简得：x:-4(p-3)R①.

...二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

..•一元二次方程①的判别式等于0,

即△=0：+16(p-3)=0,解得p=3.

二抛物线解析式为：y=--yx:+x+p=y=--x:+x+3=--(x-2):+4,

444

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.

「•当P>0且二次函数图象与直线尸x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4.

考点：二次函数综合题

1,

3.【2016广东省惠州市惠阳区一模】已知在平面直角坐标系中，抛物线y=法

与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点，

(1)求抛物线的表达式；

(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边)，且PQ〃A0,PQ=2A0,求P,Q的坐标;

(3)动点M在直线y=x+4上，且AABC与△COM相似，求点M的坐标.

33

【解析】

试题分析：根据自变蚩与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=-l对称，根据K的

长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质,

可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案

试题解析：⑴当x=0时,y=4,即C(0,4),

当y=0时，x+4=0,解得x=-4,即A(-4,0),

将A、C点坐标代入函数解析式，得

±x(-4)2-46+4=0

<2,

c=4

解得1b=,-1,

c=4

抛物线的表达式为y=|x2-x+4,

(2)PQ=2A0=8,

又PQ〃AO,即P、Q关于对称轴x=-1对称,

PQ=8,-1-4=-5,

当x=-5时，y=-X(-5)2-(-5)+4=-,即P(-5,

22

7

-1+4=3,即Q(3,--)；

2

77

P点坐标(-5,--)，Q点坐标(3,--)；

22

(3)ZMCO=ZCAB=45°,

2AA一℃CMs4CM

①当△MC0S2ICAB时，——=——,即一=一;=,

BAAM640

80

------•

当x=—-时，y=~—+4=—,

333

,OCCM4CM-

当△OCMs^CAB时L，——=——，即一=解得CM=30,

CAAB4V26”

如图2

图2

5

过M作MH_Ly轴于H,MH=CH=—CM=3,

2

当x=-3时，y=-3+4=1,

AM(-3,1),

综上所述：M点的坐标为(-?8,-4),(-3,1).

33

考点：二次函数综合题

4.12016广东省汕头市澄海区一模】如图，在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D,E

分别是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQLBC于Q,过点Q

作QR〃BA交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x,QR=y.

(1)求点D到BC的距离DH的长；

(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不

存在，请说明理由.

【解析】

试题分析：（D根据三角形相似的判定定理求出△BHDS^BAC,根据相似三角形的性质求出DH的长;

（2）根据△RQCS^ABC,根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；

（3）画出图形，根据图形进行讨论：

①当PQ=PR时，过点P作PMJLQR于M,贝ijQM=RM.由于Nl+/2=90°,ZC+Z2=90°,/.Z1=ZC.

84QM4.

.".cosZl=cosC=—=—,=即可求出X的值；

312

②当PQ=RQ时，-w,x=6;

③当PRWR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=-CE=1AC=2.由于tanC=^-=—

24CRCA

15

x=一,

2

试题解析：（1）在Rtz^ABC中，

VZA=90°,AB=6,AC=8,

：.^^AB2+AC2=1°-

,.,ZD1IB=ZA=9O°,ZB=ZB.

.DHBD

BD312

；.DH=----AC=—X8=—

BC105

(2),/QR//AB,

/.ZQRC=ZA=90O.

•.-Zc=Zc,

.,.△RQCCOAABC,

.RQ_QC.y10-x

"U~'BC，"6IO->

、一，，一一3

即y关于x的函数关系式为：

(3)存在，分三种情况：

①当PQ=PR时，过点P作PM1QR于M,则QM=RM.

VZ1+Z2=9O°,ZC+Z2=^0°,

.,.Zl=Zc.

.，84

••C0s/l-cosC—1•

105

OM4

"~QP~~5,

If3[

-x+6,

.2(5J_4

,,12~5，

T

.18

..x=----.

5

312

②当PQ=RQ时，-《x+6二一，

.\x=6.

③作EM_LBC,RN±EM,

・・・EM〃PQ,

当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，

・・・EN=MN,

AER=RC,

・••点R为EC的中点,

11

ACR=-CE=-AC=2.

24

QRBA

•tanC----=---,

CRCA

・・・一丁+6=6

28

15

综上所述，当x为一或6或一时，△PQR为等腰三角形.

52

5.12016广东省汕头市金平区一模】有一副直角三角板，在三角板ABC中，ZBAC=90°,

ZC=60°,AB=6,在三角板DEF中，ZEDE=90°,ZE=45°,EF=6.将这副直角三角板按如

图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上.现固定三角板ABC,

将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M.

(1)如图2,连接ME,若/EMA=67.5°,求证：Z\DEM丝ZkAEM；

(2)如图3,在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿

CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N

也随之停止移动.连接FN,设四边形AFNB的面积为y,在三角板DEF运动过程中，y存在

最小值，请求出y的最小值；

(3)在(2)的条件下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线,

若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答.

【答案】(1)证明见解析(2)二一(3)不存在

2

【解析】

试题分析：(D只要证明/MED=/MEA=22.5°,即可利用AAS证明aDE侬△AEM.

(2)如图2中，作FG1CB,垂足为G.设AFK,则CN=2x,想办法构建二次函数，利用二次函数性质解决

问题.

(3)不存在.假设存在，推出矛盾即可.

试题解析：(D如图2中，：NEMA=67.5°,ZBAE=90°

.­.ZMEA=90°-ZEMA=90°-67.5°=22.5°,

/.ZMED=ZDEA-ZEMA=45<>-22.5°=22.5°=ZMEA,

在和中，

ZD=NE4M

«AMED=2MEA,

EM=EM

二.△DE贬△AEM.

(2)解：如图2中，作FGLCB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x.

在RtZkABC中,ZC=60°,AB=6,

AC=-~AB—=亍6=c2A.3,

tan60V3

.■.CF=2-s/3-x,

在RtZ\CFG中，FG=CF«sin600=2石-x)----x,

22

cc11

.,•y=S4ABc-S.CFN--AC«/\B--CN-FG,

11g

=-«2Jr3X6--«2x«(3-—x)

222

2

-^x-3x+6^

2

，y的最小值为迪.

2

解：如图3中，作NHj_NH于H.

当E、寅、N共线时，,「NH//AM,

AE

••而一函’

•t_____6_-_t____

6-?+25/3-1

解得t=-2若，不合题意.

...不存在某时刻，使E、M、N三点共线.

考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、

平行线性，质

6.【2016广东省广州市华师附中一模】在平面直角坐标系中，己知抛物线y=-Lx%bx+c（b,

2

c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,C的坐标为（4,

3）,直角顶点B在第四象限.

（1）如图，若该抛物线过A,B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.

(i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶

点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

取BC的中点N，连接NP,BQ.试探究艰%是否存在最大值？若存在‘求出该

最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-,x2+2x-1(2)i：Mi(4,-1),M2(-2,-7),石，-2+6),

2

Mi(1-A/5,-2->/5)；ii:~~~~

【解析】

试题分析：(D先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

(2)i)苜先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础.

若AMPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到式I的距离为2.此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x-5)

与抛物线的交点，即为所求之M点；

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为0.此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线(y=x-3)与

抛物线的交点，即为所求之M点.

p

ii)由⑴可知，PQ=2aL为定值’因此当NP+BQ取最小值时，丽逅Q有最大值.

如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B,,由分析可知，当B'、Q、F(AB中点)

三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B'F的长度.

试题解析：⑴•.等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3)

...点B的坐标为(4,-1).

••.抛物线过A(0,-1),B(4,-1)两点，

1，解得：b=2,c=-1,

一一x16+46+c=-1

I2

.・抛物线的函数表达式为：尸-gx：+2x-L

(2)方法一：

i),/A(0,-1),C(4,3),

直线AC的解析式为：y=x-1.

设平移前抛物线的顶点为P。，则由(1)可得P。的坐标为(2,1),且P。在直线AC上.

•.•点P在直线AC上滑动，.•.可设P的坐标为(m,m-1),

则平移后抛物线的函数表达式为：y=--(x-m)+-i.

2m

y=x-l

解方程组：］1/、2/八，

y=+(根-1)

解得广=mx2=m-2

=m-\y2=m-3

AP(m,m-1),Q(m-2,m-3).

过点P作PE〃x轴，过点Q作QF〃y轴，则

PE=m-(m-2)=2,QF=(m-1)-(m-3)=2.

•**PQ-2>/2=APo.

若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况:

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为20(即为PQ的长).

由A(0,-1),B(4,-1),Pc(2,1)可知，

△ABP：为等腰直角三角形，且BP：1AC,BP：=2^2.

如答图1,过点B作直线L〃AC,交抛物线尸-gx：+2x-l于点M,则M为符合条件的点.

...可设直线L的解析式为：尸x+b：,

'.'B(4,-1),-l=4+bi,解得b1=-5,

直线L的解析式为：y=x-5.

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为0.

如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,-1).

由A(0,-1),F(2,-1),P»(2,1)可知：

△AFP。为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为逝.

过点F作直线k〃AC,交抛物线y=-1x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点.

.•.可设宜线L的解析式为：y=x+b2,

VF(2,-1),-l=2+b2,解得b尸-3,

直线k的解析式为：y=x-3.

y=x-3

x}=1+V5%2~1-A/5

解方程组

y=-2+6%=-2-小

.一(1+6，-2+75),M,(1-V5.-2-V5).

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

Mi(4,-1),M2(-2,-7),M：((1+V5，-2+V5)»M4(1-75,-2-75).

方法二：

,.'A(0,1),C(4,3),

.\Lc：y=x-1,

...抛物线顶点P在直线AC上，设P(t,t-D,

..•抛物线表达式：y=-^(x-O2+f-l,

•••L：与抛物线的交点Q(t-2,t-3),

•••一瓜P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P(t,t-1),

①当M为直角顶点时，M(t,t-3),-^C+2t-l=t-3,

.\t=l±5/5,

/.Mt(1+75,75-2),M：(1-45,-2-75),

②当Q为直角顶点时，点M可视,为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，

将点Q(t-2,t-3)平移至原点Q'(0,0),则点P平移后P'(2,2),

将点P'绕原点顺时针旋转90°,则点干(2,-2),

将Q'(0,0)平移至点Q(t-2,t-3),则点M'平移后即为点M(t,t-5),

—1~+2t—\-t-5,

2

ti=4,ta="2,

(4,-1),M2(-2,-7),

③当P为直角顶点时，同理可得茹(4,-1),Mo(-2,-7),

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

Mi(4,-1),(-2,-7),\h(l+行，-2+6)，(1-火，-2-逐).

PQ

⑴市，存在最大值.理由如卜:

LpQ

由i)知PQ=2也为定值，则当NP+BQ取最小值时，NP+.Q有最大值.

如答图2,取点B关于AC的对称点可，易得点B，的坐标为(0,3),BQ=ByQ.

连接QF,FN,QB',易得FN〃PQ,且FN=PQ,

二四边形PQFN为平行四边形.

.,.NP=FQ.

.■.NP+BQ=FQ+ByQ'FB，=>/2r+4？=2>/5>

.,•当丁、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2有.

.PQ的曰+牯*2JI而

…、一“的最大值为一%=三.

NP+BQ2#5

考点：二次函数综合题

7.【2016广东省广州市海珠区一模】如图，抛物线k^x'+bx+c与x轴交于点A、B,交y

2

轴于点C(0,-26)，且抛物线对称轴x=-2交x轴于点D,E是抛物线在第3象限内一

动点.

(1)求抛物线力的解析式；

(2)将△OCD沿CD翻折后，0点对称点0'是否在抛物线外上？请说明理由.

（3）若点E关于直线CD的对称点E'恰好落在x轴上，过E'作x轴的垂线交抛物线yl

于点F,①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P,使IPE-PFI最大？若存在，试写出PE

⑵不在(3)①F(2,6-2&)②存在，6-2有

【解析】

试题分析：（D先由抛物线对称轴方程可求出b=2,再把点C（。，-）代入yi=1x'+bx+c可得0=273，

所以抛物线解析式为y尸gx?+2x-2⑺；

（2）过0,点作1Hix轴于H,如图1,由（D得D（-2,0）,C（0,273）,在RtZkOCD中利用三

角函数可计算出NODC=60。，再利用折彘的性质得O'D=0D=2,Z0yDC=Z0DC=60°,所以NO,DH=60。，

接着在RtAO/DH中利用三角函数可计算出0,护小，利用勾股定理计算出DH=1,则0，（-3,-/），

然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断0,点是否在抛物线,上；

（3）①利用二次函数图象上点的坐标特征设E（仇，\:+2m-2V3>（m<0）,过E作EH±x轴于H,连

结DE,如图2,贝I]DH=-2-m,EH=-；m：-2m+2有，由（2）得/0DC=60。，再利用轴对称性质得DC平分

NEDE，，DE=DE，,则/EDE，=120。，所以NEDH—O。，于是在RtaEDH中利用三角函数的定义可得-gm：

-2m+273=（-2-m）出,解得*2名（舍去），肽=-4,则E（-4,-273）,接着计算出DE=4,

所以DE'=4,于是得到1（2,0）,然后计算x=2时得函数值即可得到F点坐标；

②由于点E关于直线CD的对称点E'恰好落在x轴，则PE=PE',根据三角形三边的关系得

|PE'-PF|WE'F（当点P、E'F共线时，取等号），于是可判断直线CD上存在点P,使

PE-PFI最大，最大值为6-28.

试题解析：(1)•••抛物线对称轴x=-2,

b

'-2x-=-2,

2

解得b=2,

2

•.•点C(0,-273)在抛物线yL=-x+bx+c上，

2

，c=2百，

•••抛物线解析式为y)=1x2+2x-26；

(2)0点对称点X不在抛物线y：上.理由如下：

过0'点作O'Hix轴于H,如图1,由(1)得D(-2,0),C(0,2+),

在RtZkOCD中，,/0D=2,OC=73,

■>8

..tanN0DC=----=,

2

.,.ZODC=60°,

「△OCD沿CD翻折后，0点对称点0，，

二。'D=0D=2,/O'DC=ZODC=«O°,

/.ZO7DH=60°,

Qfff

在RtZkO'DH中，sin/0'DH=^^-,

二.O'H=2sin600=^3,

.•.DH=j22-(&j=1,

/.07(-3,一用，

•.,当x=-3时，y产;x、2x-26=；X9+2X(-3)-2月¥-百，

工。点不在抛物线V上;

过E作EHlx轴于H,连结DE,如图2,贝(|DH=-2-m,EH=-(m:+2m-2)=--^m2-2m+2^,

由(2)得/0DC=60°,

•••点E关于直线CD的对称点E，恰好落在x轴上，

二.DC垂直平分EE',

；.DC平分/EDE',DE=DE',

二.NEDE'=120°,

.,.ZEDH=60°,

EH

在RtAEDH中>'.，tanZEDH=——)

HD

.'.EH=HDtan60o>艮［1-5m•-2m+2拒-(一2一m)拒>

整理得/+(4+2)m-873=0,解得欧=2内(舍去)>处二-4,

.'.E(-4,-2超),

.,.HD=2,EH=273

•,阵"也可=4,

・・・DE'=4,

：.E,(2,0),

而E'F±x轴，

・・・F点的横坐标为2,

当x=2时，yi=-x，2x-2百=6-26,

.\F(2,6-273)；

②•••点E关于直线CD的对称点E'恰好落在x轴，

...PE=PE',

PE'-PF|WE'F(当点P、E'F共线时，取等号)，

直线GD上存在点P,使|PE-PF|最大,最大值为6-2米.

8.12016广东省广州市增城市一模】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?+bx+c

与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(3,0),直线y=-x+3恰好经过B,

C两点

(1)写出点C的坐标；

(2)求出抛物线y=x?+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且NAPD=/ACB,求点P的坐标.

【答案】(1)C(0,3)；(2)y=x2-4x+3=(x-1)(x-3),对称轴为x=2,点A(1,0)；

(3)(2,2)或(2,-2)

【解析】

试题分析：(1)由直线y=-x+3可求出C点坐标：

(2)由B,C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；

(3)作出辅助线0E,由三角形的两个角相等，证明△AECS^AFP,根据两边成比例，便可

求出PF的长度，从而求出P点坐标.

试题解析：(1)y=-x+3与y轴交于点C,故C(0,3).

(2):抛物线y=x?+bx+c过点B,C,

19+3/?+c=O

c=3

解得《

抛物线的解析式为y=x?-4x+3=(x-1)X(x-3),

...对称轴为x=2,点A(1,0).

(3)由y=x：-4x+3,

可得D(2,-1),A(1,0),

/.0B=3,OC=3,0A=l,AB=2,

可得^OBC是等腰直角三角形，

/.ZOBC=45°,C5=30.

如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F,

过点A作AEJ_BC于点E.

，NAEB=90度.

可得BE=AE=&，C£=2A/2.

在与△AFP中，ZAEC=ZAFP=90°,ZACE=ZAPF,

.•.△AEC^AAFP.

.AECEy[2_2V2

"AFPF1-PF

解得PF=2.

或者直接证明△ABCsaADP得出Pl)=3,

再得PF=2.

•••点P在抛物线的对称轴上，

...点P的坐标为(2,2)或(2,-2).

考点：二次函数综合题

9.【2016广东省揭阳市普宁市二模】如图，抛物线y=x、bx+c过点A(3,0),B(1,0),

交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重

合)，过点P作PD〃y轴交直线AC于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点M使!MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存

【解析】

试题分析：(D把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

(2)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，

然后表示出PD的长度，再根据二次I羽数的最值问题解答；

(3)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称

轴交点时，IMA-MCI最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可.

试题解析：(1)•.•抛物线y=x「+bx+c过点A(3,0),B(1,0),

9+3b+c=0

l+/?+c=0

匠T

解得.，

c=3

.•.抛物线解析式为y=x?-4x+3；

(2)令x=0,则y=3,

.•点C(0,3),

则直线AC的解析式为y=-x+3,

设点P(x,x:-4x+3),

•••PD〃y轴，

.,.点D(X,-x+3),

39

.*.PD=(-x+3)-(x'-4x+3)=-x'+3x=-(x---)*+-,

24

,.,a=-l<0,

39

...当x=三时，线段PD的长度有最大值：；

24

(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB,

由三角形的三边关系，MA-MC|<BC,

.•.当M、B、C三点共线时,|MA-MC|最大，为BC的长度，

设直线BC的解析式为y=kx+b(kWO),

k+b=O

则《

b=3

k=-3

解得《

b=3

，直线BC的解析式为y=-3x+3,

:抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,

...当x=2时，y=-3X2+3=-3,

...点M(2,-3),

即，抛物线对称轴上存在点M(2,-3)，使|MA-MCI最大.

考点：二次函数综合题

10.【2016广东省深圳市模拟】抛物线y=ax?+bx+4A(1,-1),B(5,-1),与y轴交

于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,连接CB,若点P在直线BC上方的抛物线上，ABCP的面积为15,求点P的坐

林；

(3)如图2,。01过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点(不与点A,E

重合)，NMBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.

【答案】(1)y=x-6x+4；(2)(6,4)或(-1,11)(3)3713

【解析】

试题分析：（D将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；

（2）设点P的坐标为P（m,m--6m+4）,根据S.bpnb,由=S^acErp-5丁£2一5,国口，得到关于m

的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；

3

<3）苜先证明△EABsZkNMB,从而可得到处=当MB为圆的直径时，NB有最大值.

2

a+b+4=-1

试题解析：（D将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得:

25〃+56+4=—1'

a—1

解得：

b=-6

・・.抛物线得解析式为y=x：-6x+4；

设点P的坐标为P(m,m2-6m+4)

SACBP=15,B|J：SACBP二S梯形CEDP-SAGER-SAPBDJ

—m(5+mL-6m+4+l)--X5X5--(m-5)(m，-6m+5)=15,

222

化简得：m2-5m-6=0,

解得：m=6,或m=-l,

・••点P的坐标为(6,4)或(-L11),

(3)连接AB、EB,

：AE是圆的直径，

...NABE=90°,

.\ZABE=ZMBN,

又•.•NEAB=NEMB,

.,.AEAB^-ANMB,

".'A(1,~1),B(5,-1),

...点。:的横坐标为3,

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4,

.•.点C的坐标为(0,4),

设点01的坐标为(3,m),

VOiC^.A,

A^32+(/n-4)2-V13-

解得：m=2,

，点a的坐标为⑶2),

.\0^=^32+(2-4)2，

在RtAABE中，由勾股定理得：BE=JAE1-AB丁=2-4?=6,

..•点E的坐标为（5,5）,

.".AB=4,BE=C,

,."△EAB^ANMB,

.AfB

…商一丽’

•4_A用

.7一丽，

3

2

二当MB为直径时，MB最大，此时NE最大,