《向量在物理中的应用举例》教案、导学案、课后作业

《6.4.2向量在物理中的应用举例》教案

【教材分析】

向量概念有明确的物理背景:力、速度、加速度等，可以说向量概念是从物理背景中抽

象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理问题，例如利用向量计算力沿某方向所

做的功.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生

活中的实际问题；

2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的

积极主动的探究意识，培养创新精神.

数学学科素养

1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；

2.数学运算：坐标运算解决物理问题；

3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；

4.数学建模：数形结合，将物理问题向量化，体现了数学与物理的紧密联系.

【教学重点和难点】

重点：体会向量在解决平面物理问题中的作用；

难点：如何将物理等实际问题化归为向量问题.

【教学过程】

一、情景导入

提问：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力.为什么？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本40-41页，思考并完成以下问题

1、如何用向量方法解决物理问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速发、位移等.

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.

(3)动量加V是向量的数乘运句.

(4)功是一力尸与位移s的数量积.

四、典例分析、举一反三

题型向量在物理中的应用

例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；

在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

【解析】不妨设出I二£|,由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三

角形的指示，可以得到

通过上面的式子我们发现，当。由0'~180°逐渐变大时，色由0°~90’逐渐变大，

2

cos'的值由大逐渐变小，因此，I川有小逐渐变大，即后、£之间的夹角越大越费力，夹

2

角越小越省力.

例2如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸.已

知船的速度I为l=10km/h,水流的速度I引=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精

确到0.Imin)?

【答案】见解析

【解析】l)l=Jl彳『一(km/h),

所以，Z=-=-=-T=X60«3.1(min).

|v|V96

答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.

解题技巧(向量解决物理问题的步骤)

跟踪训练

1、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡

船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

【答案】见解析

—>—>—>

【解析】如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的

速度.

因为AB+AD=AC,

所以四边形ABCD为平行四边形.

在RtZ\ACD中，ZACD=90°,

—*—

|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,

所以NCAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江，

其航向应为北偏西30°.

2、己知两恒力£=(3,4),E=(6,—5)作用于同一质点，使之由点力(20,15)移动到点

8(7,0),求凡氏分别对质点所做的功.

【答案】见解析

【解析】设物体在力产作用下的位移为s,则所做的功为G-Qs.

•：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

—>

・・・M=£•AB=(3,4)•(-13,-15)=3X(—13)+4X(—15)=—99(焦)，

—►

斯=尺・48=(6,-5)•(-13,-15)=6X(—13)+(—5)X(—15)=—3(焦).

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

6.4.2向量在物理中的应用举例

1.向量在物理中的应用例1例2

七、作业

课本41页练习，52页习题6,4的4-5题.

【教学反思】

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教

学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。

指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.

《6.4.2向量在物理中的应用举例》导学案

【学习目标】

知识目标

1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识研究物理中的相关问题的'‘四环节"和生

活中的实际问题；

2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的

积极主动的探究意识，培养创新精神.

核心素养

1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；

2.数学运算：坐标运算解决物理问题；

3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；

4.数学建模：数形结合，将物理问题向量化，体现了数学与物理的紧密联系.

【学习重点】：体会向量在解决平面物理问题中的作用；

【学习难点】：如何将物理等实际问题化归为向量问题.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本40-41页，填写。

1.向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有等.

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的中.

(3)动量是向量的运算.

(4)功是的数量积.

小试牛刀

----►a

1.若向量m=(2,2),(加=(一2,3)分别表示两个力心内,则出+身为()

A.(0,5)B.(4,-1)C.2MI).5

2.某物体做斜抛运动，初速度|%|=10m/s,与水平方向成60°角，不计空气阻力，

则该物体在水平方向上的速度是m/s.

3.一质点受到平面上的三个力£,A,四(单位：N)的作用而处于平衡状态，己知E,

£成60°角，且E,K的大小分别为2和4,则A的大小为.

【自主探究】

题型向量在物理中的应用

例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力:

在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

例2如图，一条河的两岸平行，河的宽度4=500/〃，一艘船从A处出发到河对岸.已

知船的速度Ir,|=10km/h,水流的速度上|=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精

确到0.Imin)?

跟踪训练

1、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡

船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

2、已知两恒力£=(3,4),Fr=(6,—5)作用于同一质点，使之由点力(20,15)移动到点

6(7,0),求£,£分别对质点所做的功.

【达标检测】

1.人骑自行车的速度是为，风速为灯则逆风行驶的速度为()

A.V\~ViB.力+上

C.|历|一|%|D.子

V2

2.两个大小相等的共点力后，R,当它们夹角为90°时，合力大小为20N,则当它们

的夹角为120°时，合力大小为()

A.40NB.l(h/2NC.2MND.l(h/3N

3.在水流速度为4#km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸

行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向.

答案

小试牛刀

1.D.

2.5.

3.2巾.

自主探究

例1【答案】见解析

【解析】不妨设用1=£|,由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三

角形的指示，可以得到

2cos—

2

通过上面的式子我们发现，当夕由0780°逐渐变大时，一由0°〜90。逐渐变大，

2

cos一的值由大逐渐变小，因此，|£|有小逐渐变大，即£、£之间的夹角越大越费力，夹

2

角越小越省力.

例2【答案】见解析

【解析】-l=Jl彳|2—|W|2=A(km/h),

所以，t=-=-=x60«3.1(min).

|v|V96

答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.

跟踪训练一

1、【答案】见解析

->—>—>

【解析】如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的

速度.

因为AB+AD=AC,

所以四边形ABCD为平行四边形.

在RtZ\ACD中，ZACD=90°,

—►—►—►

|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,

所以NCAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江，

其航向应为北偏西30°.

2、【答案】见解析

【解析】设物体在力尸作用下的位移为s,则所做的功为"-Qs.

•：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

・・・格=£・48=(3,4)・(-13,—15)=3X(—13)+4X(-15)=-99(焦)，

-A

%=尺・仍=(6,-5)•(-13,一15)=6X(—13)+(—5)X(—15)=—3(焦).

当堂检测

1-2.BB

3.【答案】见解析

【解析】如图所示，设氐B表示水流速度，旗表示船垂直于对岸行驶的速度，以万豆为

一边，而'为一对角线作。力6微则，而就是船的航行速度.

V|AB|=4y3,|AC|=12,

A\AD\=\BC\=8j39

+4—m

tanNACB=-—0,

i/o

：.ZCAD=ZACB=30°,N朋D=120°.

即船的航行速度的大小为8skm/h,方向与水流方向的夹角为：20。.

《6.4.2向量在物理中的应用举例》课后作业

基础巩固

1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来,

鹰在地面上的影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速度为()

、8040百,「80G/40

A.—m/sB.-----m/sC.-----m/sDr.—m/s

3333

2.已知作用在点4的三个力工=(3,4),&=(2,-5),6=(3,1),且4(1,1),则合力

7=工+力+£的终点坐标为()

A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)

3.两个大小相等的共点力耳石，当它们夹角为90°时，合力大小为20N,则当它们的夹

角为120°时，合力大小为()

A.40NB.10&NC.20>/2N10石N

4.人骑自行车的速度是风速为k，则逆风行驶的速度为()

A._p2B.V)+1/2C.|vi|—jvzjD.■=-

5.点P在平面上作匀速直线运动，速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(TO,10),则

5秒后点P的坐标为(速度单位：n/s,长度单位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

6.某人从点0向正东走30m到达点A,再向正北走30j5m到达点B,则此人的位移的大小是

m,方向是东偏北.

7.一个重20N的物体从倾斜角30。，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做

的功是.

8.两个力耳=7+1,豆=47-5］作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点

3(7,0)(其中31分别是4轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：M位移的

单位：m).求：

(1)耳，石分别对该质点做的功；

(2)耳，耳的合力R对该质点做的功.

能力提升

9.一条河的宽度为d,一只船从4处出发到河的正对岸8处，船速为万，水速为、，则

船行到8处时，行驶速度的大小为()

A.v?-vzB.同一向C.D.福『一同

10.如图，两根固定的光滑硬杆/，如成。角，在杆上分别套一小环只。(小环重力不计)，

并用轻线相连.现用恒力/沿砺方向拉小环。，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为

A

/\B

°Q

11.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A点出发航行到河对

岸，船航行速度的大小为|匕卜10km/h,水流速度的大小为M|=4km/h,设彳和g的

夹角夕

（1）当cos。多大时，船能垂直到达对岸？

（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？

素养达成

12.某人在静水中游泳，速度为45份千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.

（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大

小为多少？

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂宜的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

《6.4.2向量在物理中的应用举例》课后作业答案解析

基础巩固

1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来,

鹰在地面上的影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速度为（）

,80406/80G/40

A.—m/sB.-----m/sCr.-----m/sDr.—m/s

3333

【答案】C

【解析】如图，I/|=闻=40,且NCA8=30°，则|荏|=%|=更皆.

故选:C

2.已知作用在点/的三个力工=(3,4),/2=(2,-5),人=(3,1),且则合力

/=/+力+力的终点坐标为()

A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)

【答案】A

【解析】/"+&+/=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),

设终点为5(苍y),则(％TyT)=(8,0),

1=8x=9

所以《所以

丁=1'

所以终点坐标为(9,1).

3.两个大小相等的共点力吊耳，当它们夹角为90°时，合力大小为20N,则当它们的夹

角为120°时，合力大小为()

A.40NB.105/2NC.20及ND.106N

【答案】B

【解析】设合力为国，

由平行四边形法则可知，同=园二同cos450=10匹N,

当月和耳的夹角为120,时，由平行四边形法则，园二|同=|同=10&N,

故选:B.

A

4.人骑自行车的速度是良，风速为k，则逆风行驶的速度为()

A.V1—y2B.也+U2C.|vi|—|vz|D.

【答案】B

【解析】由题意，根据向量的加法法则，可得逆风行驶的速度为匕+为，注意速度是有方

向和大小的,是一个向量.

故选：B.

5.点P在平面上作匀速直线运动，速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(TO,10),则

5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s,长度单位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)I).(5,-10)

【答案】C

【解析】5秒后点〃的坐标为：(一10,10)+5(4,-3)=(10,-5).

6.某人从点0向正东走30m到达点A,再向正北走30Gm到达点B,则此人的位移的大小是

m,方向是东偏北.

【答案】6060°

【解析】如图所示，此人的位移是丽=丽+而，且苏薪，

则|函二J|两2十|研二翅⑺，tanZBOA=j^=V3,AZBOA=60\

故答案为：60,60°.

7.一个重20N的物体从倾斜角30°,斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做

的功是________.

【答案】10J

【解析】由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小

.,1

㈤=-X20N=10N,

2

：.W=\F\•\s\=lQJ.

或由斜面高为!m,W-|G|•力=20x!j=10J.

22

答案为10J

8.两个力耳=7+],月=4：一5,作用于同一质点，使该质点从点A（20,15）移动到点

3（7,0）（其中九]分别是1轴正方向、丁轴正方向上的单位向量，力的单位：N,位移的

单位：ni）.求：

（1）耳，耳分别对该质点做的功；

（2）耳，耳的合力声对该质点做的功.

【答案】（1）耳做的功一28（J）,耳做的功23（J）.

（2）-5（J）

【解析】（1）耳=（1/），6=（4,一5）,AB=（-13,-15）.

己做的功叱=K,AB=（1,1）（T3,T5）=T3—15=—28（J）,

月做的功叱=耳.通=（4,一5）,（-13,T5）=—52+75=23（J）.

（2）R=耳+耳=（5,-4）,

所以户做的功W=R•丽=（5,T）•（-13,T5）=-65+60=-5（J）.

能力提升

9.一条河的宽度为d,一只船从4处出发到河的正对岸3处，船速为B，水速为B，则

船行到8处时，行驶速度的大小为（）

A.V?-V2B.网一网C.guD.^|v,|-|v2

【答案】I）

【解析】如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，

22

可得船行驶的速度大小为7|vj-|v2|.

故选：D.

10.如图.两根固定的光滑硬杆的.必成6角,在杆卜分别套一小环P.0（小环重力不计）.

并用轻线相连.现用恒力/沿砺方向拉小环0,则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为

【答案】11.

sin0

【解析】以小环P为研究对象，日于受力平衡，故轻线与杆04垂直.

即轻线与杆08的夹角为三一夕

2

设小环。受轻线的拉力为彳，对其受力分析,

可得在水平方向上有了cos\^-e

|f|=M

故

11sin。

故答案为：J1.

sin。

11.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A点出发航行到河对

岸，船航行速度的大小为卜iplOkm/h,水流速度的大小为卜-4km/h,设£和西的

夹角。（0°<6<180）

（1）当cos。多大时，船能垂直到达对岸？

（